用J表示元素全为1的n级矩阵。求数域K上n级矩阵J的全部特征值和特征向量。

设正整数v,k,λ,n满足:

v＞k＞λ＞0,n=k-λ,λ_v=k²-n

设M是元素为0或1的v级矩阵。且M的每一行恰有k个元素是1，M的每两行的内积为λ。令H=MM'。证明:

(1)H=nI+λJ，其中I是v级单位矩阵,J是元索全为1的v级矩阵；

(2)在有理数域上,H≈I;

(3)在有理数域上

(4)在有理数域上

(5)在有理数域上

用E_ij表示i行j列的元素为1，而其余元素全为零的nxn矩阵，A=(a_ij)_nxn。证明：

1)如果AE₁₂=E₁₂A，那么当k≠1时a_k1=0，当k≠2时a_2k=0;

2)如果AE_ij=E_ijA，那么当k≠i时a_ki=0，当k≠j时a_jk=0，且a_ii=a_jj;

3)如果A与所有的n级矩阵可交换，那么A一定是数量矩阵，即A=aE。

设实数域上的n级矩阵A为

其中a₁,a₂,...,a_n，不全为0,且a₁+a₂+…+a_n=0,求A的全部特征值。

如图所示，设是数域K上一个多项式。证明:如果λ₀是K上n级矩阵A的一个特征值,且α是A的属于λ₀的一个特征向量,那么f(λ₀)是矩阵f(A)的一个特征值,且α是f(A)的属于f(λ₀)的一个特征向量。