若对任意有理数r,X（f=r)都可测，则f为可测函数 。（)

证明f(x)为E上可测函数的充要条件是：对任一有理数r，集E(f＞r)恒可测。如果假设对任一有理数r，集E(f=r)恒可测，问f(x)是否可测？

证明:若函数f（x)在区间I连续,且对任意有理数x∈I,有f（x)=0,则

试证明：

设f(x)定义在可测集E上．若f²(x)在E上可测，且{x∈E：f(x)＞0}是可测集，则f(x)在E上可测．

试证明：

设．(i)若对任给ε＞0，存在开集G：且m^*(G＼E)＜ε，则E是可测集．(ii)若对任给ε＞0，存在闭集F：且m(E＼F)＜ε，则E是可测集．

证明函数f在可测集E上可测的充要条件是对任意实数a,集合E（f＜α)可测

设f_n（x)（n=1,2,...)是E上a.e.有限的可测函数列,而{f_n}a.e.收敛于有限函数f.则对任意ε＞

0存在常数c与可测集使在E₀上对一切n有

这里mE＜∞.

设m（E)<∞,若f（x)是e上a.e.有限的可测函数,证明对任意δ>0,存在和M>0,使得m（E/E_δ)<δ,且对任意x∈e_δ,|f（x)|≤M.

设g(·)是可测集G上的可测函数，如果对任何。f∈L(G)，f(·)g(·)可积，则g是本性有界的。

设f(x)是E上几乎处处有限的可测函数，m(E)＜+∞，试证明对任意的ε＞0，存在E上的有界可测函数g(x)，使得

m({x∈E：|f(x)-g(x)|＞0})＜ε．

证明:f在可测集E上可测的充分必要条件是对于任意实数α,集合E（f＜α)可测