试证明： 设．（i)若对任给ε＞0，存在开集G：且m*（G＼E)＜ε，则E是可测集．（ii)若对任给ε＞0，存在闭集F：且m（E＼F)＜ε，则

试证明：

设．则的充分必要条件是：对任给ε＞0，存在可测集A，：，使得m(B\A)＜ε．

试证明：

设，则E可测的充分必要条件是：对任给ε＞0，存在开集G₁，G₂：，，使得m(G₁∩G₂)＜ε.

设f_n∈L^p(E)(1≤p＜∞，n∈N)，试证明下列命题等价：

(i)存在f∈L^p(E)，使得

．

(ii)存在f∈L^p(E)，使得f_n(x)在E上依测度收敛于f(x)，而且Γ={|f_n(x)|^p}具有积分一致绝对连续性，即对任给ε＞0，存在δ＞0，使得

(n∈N，且m(e)＜δ)．

试证明：

设是有界点集．则E可测的充分必要条件是：对任给ε＞0，存在有限个互不相交的区间之并：，使得m^*(E△V)＜ε．

意的ε＞0，有

试证明：

设是开区间，是可测集，若存在λ＞0，使得m(E∩I)＞λ|I|，则对n∈N，存在开区间：

|I|=n·|J|，m(E∩J)＞λ|J|.

试证明：

设．若对任意的x∈E，存在开球B(x，δ_x)，使得m^*(E∩B(x，δ_x))=0，则m^*(E)=0．

试证明：

设集合．若对任意的x∈E，存在开球B(x，δ_x)，使得m(E∩B(x，δ_x))=0，则m(E)=0．

试证明：

设f(x)在R¹上非负可积，且有

(n∈N).

若令I=(-∞，-1]∪[1，∞)，则f(x)=0，a．e．x∈I．

设函数f(x)在[α，b]上有定义，且对于任给的ζ＞0，存在[α，b]_上的可积函数g，使得 ｜f(x)-g(x)｜＜ε，x∈[α，b]。 证明f(x)在[α，b]上可积。