试证明： 设f（x)定义在可测集上．若f2（x)在E上可测，且{x∈E：f（x)＞0}是可测集，则f（x)在E上可测．

设是可测集，定义在E×(0，1)上的f(x，y)满足：f(x，y)是E上(y固定)的可测函数，又是(0，1)上(x∈E固定)的连续函数，试证明：

，

均在E上可测．

试证明：

设f(x)是(a，b)上的实值函数，是f(x)的可微点集，则f'(x)在D上可测.

设{f_n(x)}定义在闭集上，且每个f_n(x)的连续点在F中稠密，若f_n(x)在F上一致收敛于f(x)，试证明f(x)的连续点在F中稠密.

试证明：

设f(x)是定义在区间[a，b]上的单调函数，则f(x)是[a，b]上的可测函数.

试证明：

设f(x)，g(x)是E上的可测函数，m(E)＜+∞．若f(x)+g(y)在E×E上可积，则f∈L(E)，g∈L(E)

试证明：

设f(x)是[0，1]上非负递增函数，则对[0，1]中的可测集E:m(E)=e，有

.

试证明：

设f(x)是[a，b]上的有界函数，其不连续点集记为D.若D只有可列个极限点，则f(x)是[a，b]上的Riemann可积函数．

试证明：

(函数连续点的结构) 若f(x)是定义在开集上的实值函数，则f的连续点集是G_δ集．

试证明：

设f(x)在[a，b]上可微，则f'(x)的连续点集在[a，b]中稠密．

设f(x)是定义在（－∞,a）上的连续函数，对任意的t∈R¹，令TE_t={x∈E：f(x)＞t}，试证明存在Rⁿ中包含E的开集TG_t，使得E_t=E∩G_t．