在10.5.7节曾提到z变换的卷积性质，为了证明这个性质成立，现从卷积和表示式入手，即(a)将式(P10.

积.本题研究一种称为“同态滤波"的解卷积算法原理.在此,需要用到z变换性质和对数计算.设,若要直接把相互卷积的信号x₁(n)与x₂(n)分开将遇到困难.但是,对于两个相加的信号往往容易借助某种线性滤波方法使二者分离.图8-5示出用同态滤波解卷积的原理框图,其中各部分作用如下:

(1)D运算表示将x(n)取z变换、取对数和逆z变换,得到包含x₁(n)与x₂(n)信息的

相加形式.

(2)L为线性滤波器,容易将两个相加项分离,取出所需信号.

(3)D^-1相当于D的逆运算,也即取z变换、指数以及逆z变换,至此,可从x(n)中按需要分离出x₁(n)或x₂(n)完成解卷积运算.

试写出以上各步运算的表达式.

在核武器竞赛模型中，证明由(6)式表示的乙安全线y=f(x)的性质．

利用z变换求给出的两序列的卷积，即求y(n)=x(n)*h(n)。

其中：h(n)=aⁿu(n)(0＜a＜1)

x(n)=R_N(n)=u(n)-u(n-N)

利用z变换给出的两序列的卷积，即求

y(n)=x(n)*h(n)

其中，h(n)=aⁿu(n)(0＜a＜1)，x(n)=R_N(n)=u(n)-u(n-N)。

已知x(n)和y(n)的z变换分别为

(1)试用复卷积公式计算w(n)=x(n)y(n)的z变换W(z)=[w(n)]及其收敛域

(2)直接求出x(n).y(n).w(n)=x(n)y(n),并求出W(z)=[w(n)],将它与(1)中求导的W(z)互相核对。

正如9.5节所指出的，拉普拉斯变换的许多性质和推导都与对应的傅里叶变换的性质和推导类似。本题将要求导出几个拉普拉斯变换的性质。细心注意第4章对傅里叶变换有关性质的推导过程，导出下列每个拉普拉斯变换的性质，导出时必须包括有关收敛域的考虑。（a)时移（b)s域平移（c)时域尺度变换（d)卷积性质

A．圆周卷积与之前在 LTI 系统中定义的线性卷积是一样的，都是由翻折，移位，相乘相加 4 种运算定义的，所以它们计算两个相同序列的卷积结果是一样的。

B．当已知 LTI 系统的输入 x[n] 与冲激响应 h[n] 时，可以通过将 x[n] 和 h[n] 进行圆周卷积计算出系统的输出 y[n]。

C．进行圆周卷积的两个序列长度可以不相等。

D．圆周卷积定义式中的翻折与移位是圆周翻折与移位，在计算上与前面离散时间信号的基本运算中的翻折和移位是不同。所以圆周卷积结果与线性卷积是不同的。

证明线性卷积服从交换律、结合律和分配律，即证明下面等式成立： (1)x(n)*h(n)=h(n)*x(n) (2)x(n)*(h1(n)*h2(n))=(x(n)*h1(n))*h2(n) (3)x(n)*(h1(n)+h2(n))=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)

在z面上，切应力之间有关系式

或由切应力互等关系写成

将上式两边乘以dz，并沿板厚从到积分，得到横向剪力的变换式

而又可以表示为

试证：将一阶导数的变换式代入式(d)，并与式(c)相比，便可导出极坐标中薄板的横向剪力公式，即教材中式(9-10)中的和的公式。

在2.7节核武器竞赛模型电证明由（6)式表示的乙安全线y=f（x)的性质。