设X是Hilbert空间，并且是X中包含M的最小闭子空间.

设X为Hilbert空间,M是X的真闭子空间，证明必含有非零元

设是希尔伯特空间，M是的子集，证明：(M^⊥)^⊥是包含M的最小闭子空间。

设巴拿赫空间E是它的闭子空间L，M的直接和：E=L？M

证明： 存在K＞0，使得对任何x∈E，有‖y‖≤K‖x‖，‖z‖≤K‖x‖，这里y∈L，z∈M，x=y+z。

设X₁和x₂是赋范空间X的子空间，X₁是闭的，X₂是有限维的。证明X₁+X₂在X中是闭的。再推出X的有限维子空间都是闭的。

设X是距离空间，如果A按照X的距离是完备的，证明：A是X中的闭集。若X是完备的距离空间，是完备的距离空间，是闭的，则A按照X的距离是完备的距离空间。

设H为Hilbert空间,是H中规范正交列,试证下列命题等价:（1)F为完全规范正交系;（2)E=H;（3)对任意x∈H,有（4)对任意x,y∈H,有

设H为Hilbert空间,是H中规范正交列,试证下列命题等价:

(1)F为完全规范正交系;

(2)E=H;

(3)对任意x∈H,有

(4)对任意x,y∈H,有

设{x_k}是Banach空间X中的点列．证明：若对于每一个f∈X^*，|f(x_k)|＜∞，则存在常数M＞0，使得对于每一个f∈X^*，有

|f(x_k)|≤M‖f‖

设X是距离空间，F₁，F₂为X中不相交闭集。证明：存在开集G₁，G₂，使得