证明 p×l＋l×p=2ihp ih（p×l－l×p)=[l2，p]

一维谐振子的Hamilton算符为

(1)

x与p满足基本对易式

[x，p]=xp-px=ih (2)

引入无量纲算符

，(3)

(4)

阅读以下说明和C++程序，将应填入(n)处的字句写在对应栏内。

【说明】

找一个最小的自然数，使它等于不同的两组三个自然数的三次幂之和，即找最小的x，使得：x=a*a*a+b*b*b+c*C*c+d*d*d+e*e*e+f*f*f，其中，a、b、c、d、e、f者是是自然数，a≤b≤C≤d≤e≤f； [a,b,c]!=[d,e,f)

【C++程序】

include＜stdio.h＞

define N 100

void main ()

{

int i,j,il,ih,i0,j0,k0,il,j 1,k1;

int j1[N],jh[N];/*第i层平面的行的变化范围，自jl[i]至jh[i]*/

int k[N][N];/*第i层平面中，对应行j,当前的列号值为k[i][j]*/

int p[N], min;/*p[i]=i*i*i*/

i1=1;j1=1;k1=1;/*首先只局限下三角棱体的顶点*/

i1=1;ih=1;/*预置i的变化范围初值i1＜=i＜=ih*/

j1[1]=1;jh[1]=1;/*对应i层平面的行的变化范围*/

k[i1][j1[i1＞=1;/*第i层平面中,对应行的列的初值*/

p[1]=1;

do

{

min=p[i1]+p[j1]+p[k1];

i0=i1;j0=j1;k0=k1;

if (i1==ih ) /*当前候选者在ih平面, 则ih增1*/

{

ih++;

(1);

/*为ih平面设定j的变化范围和对应k值*/

j1[ih]=1;jh[ih]=1;k[ih][1]=1;

}

if (i1==i1&&j 1==i1&&k1==i1 )

i1++;/*在i1平面最下角点找到候选者，i1增1*/

else

{

if (k1==1&&jh[i1]＜i1 )

{/*在第一列找到候选者, i1平面的行的上界增1*/

(2);

k[i1][jh[i1＞=1;

}

if(k1==j1&&j1[i1]＜i1 )

else

(3);/*调整i1平面当前行的列号*/

}

i1=i1;/*预定最上平面的最小行的当前列为下一个候选者*/

j1=j1[i1];

k1=k[i1][j1];

for (i=i1;i＜=ih;i++ ) /*寻找最小值所在平面号、行号和列号*/

{

for (j=j1[i];j＜=jh[i];j++ )

if (p[i]+p[j]+p[k[i][j＞＜(4))

{

i1=i;j 1=j;k1=k[i][j];

}

}

}while (p[i1]+p[j1]+p[k1]!=min&&(5));

if (p[i1]+p[j1]+p[k1]==min )

printf ("%4d=%2d^3+%d^3+%dA3=%2d^3+%d^3+%d^3\n",min,i0,j0,k0,i1,j1,k1 );

else printf ("The %d is too small.\n",N );

}

质量为μ，电荷为q的非相对论性粒子在电磁场中运动时，Hamilton算符为

(1)

其中A(r，t)和φ(r，t)是电磁场的矢势和标势，p是正则动量算符，

p=-ih▽ (2)

定义速度算符

(3)

求v的具体表示式以及v各分量间的对易式．

试证明 :P→Q=>P→ (P ^Q).

证明(l×p)×(l×p)=-ihlp²．

若P(A|B)=1,证明:P(|)=1.

设P(A)=p，P(B)=1-ɛ，证明:。

证明l²=r²p²-(r·p)²+ihr·p，进而再证明