设曲线积分，在右半平面（x＞0)内与路径无关，其中f（x)可导，且f（1)=1，求f（x)．

设曲线在右半平面(x＞0)内与路径无关,其中f(x)可导，f(1)=1,求f(x)。

b),终点为(c,d).记

(1)证明曲线积分I的值与路径(L)无关;

(2)当ab=cd时,求I的值.

设函数φ(y)具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上,曲线积分

的值恒为同一常数.

(I)证明:对右半平面(x＞0)内的任意分段光滑简单闭曲线1,都有

(II)求函数φ(y)的表达式(之一).

设D是平面区域，P(x，y)和Q(x，y)在D内具有连续偏导数，试证明以下四个条件等价：

(1)Pdx+Qdy=du；

(2)

(3)c是D内任一简单闭曲线，∮_cPdx+Qdy=0；

(4)∫_ABPdx+Qdy与是什么路径无关，只要，且

∫_ABPdx+Qdy=u|_A^B=U(B)-u(A)

全平面去掉原点及x轴负半轴所得单连通区域记作G证明在G内曲线积分

与路径无关，并求被积表达式的一个原函数

设曲线积分与路径无关，其中f(x)一阶连续可导，且f(0)=0，求f(x)．

设函数f(x)在正半轴(x＞0),上有连续的导(函)数f'(x),且f(1)=2.若在右半平面内沿任何闭合光滑曲线I,都有=0,求函数f(x).

设曲线积分与路径无关,其中φ(x)具有连续导数,且φ(0)=0,求的值.

设f(x)具有连续导数且f(0)=0.若曲线积分

与路径无关,求f(x).

证明下列曲线积分在整个xOy平面内与路径无关,并计算积分值:

分析 先验证曲线积分是否与路径无关.计算积分时，可选取易于计算的折线路径,逐段化为定积分计算;或者先求出被积表达式的原函数u(x,y),然后用曲线积分基本公式,算出u(x,y)在上、下限处的值的差即可.