设下面所考虑的函数都是定义在区间（-l，l)上的．证明： （1)两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；

设下面所考虑的函数都是定义在对称区同（-I，l)上的.证明：（1)两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数;（2)两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数;（3)定义在对称区间（-l，l)上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和，

设函数f(x)在康托尔闭集P₀定义为零，而在P₀的补集中长为的构成区间上定义为n(n∈N)。试证：f∈L，并求积分值。

设函数f（t, x)在（t, x)平面上某区域G内连续，关于x满足Lipschitz 条件.L是Lipschitz常数， 分别

设函数f(t, x)在(t, x)平面上某区域G内连续，关于x满足Lipschitz 条件.L是Lipschitz常数，分别是方程的εi和ε2逼近解，都在区间[t₁，t₂]上有定义，t₀∈[t₁, t₂]且

设f和g为区间（a,b)上的增函数,证明第7题中定义的函数ψ（x)和ψ（x)也都是（a,b)上的增函数.

A.一组属性经常在查询条件中出现

B.一个属性经常作为聚集函数的参数

C.一组属性经常在连接操作的连接条件中出现

D.以上都是

A.若f'(x)＞0(-a＜x＜0)且f'(x)＜0(0＜x＜a),则f(0)是f(x)在(-a,a)内的最大值

B.若f(0)是极大值,则存在正数δ,使f(x)在(-δ,0)内增大,而在(0,δ)减小

C.若f(x)在(-a,a)内是连续偶函数,则f(0)必是极值

D.若f(x)在(-a,a)内是可微分的偶函数,则f"(0)=0

设f(x)是定义在区间(0，+∞)上的有界的可导函数，又存在，试证

设函数f(x)定义于(a，+∞)上，且在每一个有限区间(a，b)内是有界的。证明

设f(t)在区间(a,b)上具有连续导数，.定义D上的函数。

表示，在计算上是很有效的;并且，事实上，它对于得到信号的很好近似是非常有用的。令|Φ(t) |，i=0，±1，±2，…是在区间0≤t＜b上的一组归一化正交函数，x()为已知信号。现研究x(t)在区间a≤t≤b上的近似：

其中a;是常数(一般为复数)。为了度量x(t)与级数近似之间的差别，定义误差eN(t)为

对于衡量近似的好坏，一种合理并广泛应用的准则是所研究区间上误差信号的能量：也就是在区间a≤t≤b上，误差信号模平方的积分

(a)证明，当选择

时，E达到最小值。

提示：利用式(P3.66-1)~式(P3.66一3)，以a1，Φ1(t)和x(t)表示E，然后按照ai=bi+jci把ai表示成笛卡儿坐标形式，并证明式(P3.66-4)所给定的ai满足下列各式：

(b)若

而且，|Φi(t) |是正交的，但不是归一化正交的，问(a)的结果将有何变化？

(c)设中，Φn(t)=e^jnω0t并选任何一个长度为T0=2/ω0，的区间，证明：使E最小的ai由式(3.50)给出。

(d) 沃尔什(Wash) 函数集是一个经常用到的归一化正交函数集(见习题2.66) ， 它的前5个函数Φ0(t)，Φ1(t)，..，Φ2(t)如图3-20所示。在此已对时间进行了归一化，使得Φi(t)在区间0≤t≤1上为非零，而

且在该区间上归一化正交。设x(t) =sinπt， 求出形式为

的x(t)的近似式，使得

达到最小。

(e)证明：如果a依式(P3.66-4)选取，则式(P3.66-1)中的 和式(P3.66―2)中的eN(t)是正交的。

(a)和(b)的结果是极其重要的。这些结果表明，在i≠j时，每个系数a对其他所有的a都是独立的。因而，如果给近似式增添更多的项，例如计算近似式，那么先前已经确定的中Φi(t)，i=1，…，N的系数将不会改变。与此作为对比的是泰勒(Taylor) 级数的多项式展开。e1的无穷泰勒级数由式e¹=1+t+t²/2!+…给出，后文将要指出，当研究一个有限项多项式级数和式(P3.66-3)的误差准则时，就会得到一个完全不同的结果。

具体而言，令Φ0(t)=1，Φ1(t)=t，Φ2(t)=t²等等.

(f)在区间0≤t≤1上这些Φ1(t)是正交的吗？

(g) 考虑x(t) =e在区间0≤t≤1上的近似式， 其形式为xo(t) =ao do(t) 求使误差信号在该区间内的能量为最小的a0值。

(h)现在希望用泰勒级数近似e，并只取两项，即划，求出a0和a1的最佳值。