本题的目的在于证明任何一个周期信号用傅里叶级数，或更一般地用任何一组正交函数的线性组合来

任何非正弦信号都可以用傅里叶级数表示。( )

对所有的t1，t2都满足

这个信号是周期的，它在t1方向具有周期T，在t2方向具有周期T2。这样一个信号有如下的级数表示式：

其中，

求用x(t1，t2)表示a_mn的表示式。

(b) 对下列信号确定傅里叶级数系数a_mn

(i) cos(2π1+2t2)

(ii)图3-22所示信号

个周期为T0，的连续时间周期信号，其傅里叶级数表示为

(a)证明信号

的傅里叶级数系数离散卷积

给出。

(b)利用(a)的结果，计算图3-12中信号x1(t)，x2(t)和x3(t)的博里叶级数系数。

(c)假设式(P3.46-1)中的y(t)等于x°(t)，用ak来表示bk并用(a)的结果证明周期信号的帕斯瓦尔定理，即

如题4．8图所示是4个周期相同的信号。

(1)用直接求傅里叶系数的方法求图(a)所示信号的傅里叶级数(三角形式)；

的结果求f2(t)的傅里叶级数； (3)利用以上结果求图(c)的函数f3(t)的傅里叶级数； (4)利用以上结果求图(d)的信号f4(t)的傅里叶级数。

设是一个基波周期N=10的周期信号，傅里叶级数系数为ak，同时令g[n]=x[n]-x[n-1]。

(a) 证明g[n] 的基波周期也为10;

(b)求g[n]的偏里叶级数系数;

(c)利用g[n]的博里叶级数系数和傅里叶级数一次差分性质求ak，(k≠0)。

有一实值且为奇函数的周期信号x(t)，它的傅里叶级数表示为

令代表用采样周期T=0.2的周期冲激申对x(t)进行采样的结果。

(a)混叠会发生吗？

(b)若 通过一个截止频率为Π/T和通带增益为T的理想低通滤波器，求输出信号g(t)的傅里叶级数表示。

若x₁(t)和x₂(t)是基波周期为T₀的周期信号，它们的指数傅里叶级数表示为

，，

证明：信号x(t)=x₁(t)x₂(t)也是基波周期为T₀的周期信号，且其表达式为

；

论出发扩展到无限区间.

(a)普朗克尔定理说“任何”在区间[-a,a]的函数f(x)可以展开为傅里叶级数:

证明此式可以等价写为

以a_n和b_n表示,c_n为什么？

(b)证明(由傅里叶技巧的适当改变)

(c)引入新变量k=(nπ/a)和F(k)=取代n和c_n证明(a)和(b)现在成为

其中是n变化到n+1时k的增量.

(d)取a→∞得到普朗克尔定理.注意:鉴于它们非常不同的起源,很惊奇(也很有趣)两个公式个是以f(x)表示的F(k),另一个是以F(k)表示的f(x) 在a→∞时有相同的结构.

A.只有当周期信号满足狄里赫利条件时,才能展开成傅里叶级数

B.当周期信号是偶函数,三角形式的傅里叶级数展开式中只含有偶次谐波。

C.当周期信号是奇谐函数,三角形式的傅里叶级数展开式中只含有奇次谐波。

D.当周期信号是偶谐函数,三角形式的傅里叶级数展开式中只含有偶次谐波。