令V=M_n（C)是复数域上全体n阶矩阵所组成的n²维向量空间，令A是任意一个n阶复矩阵。如下

)，定义σ(X)=AX-XA。已知σ是M_n(F)的一个线性变换。设

是一个对角矩阵。证明，σ关于M_n(F)的标准基{E_ij|1≤i，j≤n}的矩阵也是对角矩阵，它的主对角线的元素是一切a_i-a_j(1≤i，j≤n)。

设V是复数域上一个n维向量空间，σ是V的一个线性变换。令是定理1的那个准素分解，令W是V的一个在σ之下不变的子空间。证明：这里W_i=W∩V，i=1，2，...，k。

我们知道，复数域C上每一n阶矩阵A都相似于一个上三角形矩阵

令

(i)证明N是幂零矩阵，于是B=D+N。这样能不能作为定理2的证明？

(ii)设，B=D+N是不是B的若尔当分解？B的若尔分解应该是什么样子？

(iii)仔细地读一下定理2，再看一看用(i)作为定理2的证明错在哪里？

数域K上n阶矩阵全体M_n(K)组成线性空间V，定义V上的变换：φ(x)=AXB，其中A，B是两个n阶矩阵．证明：

(1)φ是V上的线性变换．

(2)φ是线性同构的充要条件是A，B都是可逆的．

求下述复数域上矩阵A的秩以及它的列向量组的一个极大线性无关组：

其中

m是正整数．

令F_n[x]是某一数域F上全体次数≤n的多项式连同零多项式所组成的向量空间。令：。求出σ的最小多项式。

检验下列集合对指定的加法和数量乘法运算,是否构成实数域上的线性空间:

(1)全体n阶正交矩阵,对矩阵的加法和数量乘法;

(2)平面上全体向量,对通常的向量加法和如下定义的数量乘法k·a=0其中k∈R，a为任意的平面向量,0为零向量.

(3)全体正实数R⁺,加法与数量乘法定义为

其中a,b∈R⁺,k∈R.

设A是n阶矩阵，α是一个n维列向量.证明:如果

，则有

检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间。

(1)2阶反对称(上三角)矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法;

(2)平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：

(3)2阶可逆矩阵的全体，对于通常矩阵的加法与数量乘法;

(4)与向量(1，1，0)不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法与数量乘法。

试对数域F上全体n阶方阵的集合规定两个(异于矩阵普通运算)不同的代数运算．