设V是复数域上一个n维向量空间，σ是V的一个线性变换。令是定理1的那个准素分解，令W是V的一个在σ

设V是数域P上n维线性空间，σ是V的可逆线性变换，W是σ的不变子空间，证明：W也是σ^-1的不变子空间.

设V是复数域上的n维线性空间，T1，T2是V上的线性变换，且T1T2=T2，T1，证明： (1)如果λ0是T1的特征值，则Vλ0是T2的不变子空间； (2)T1，T2至少有一个公共的特征向量．

令V是实数域R上一个三维向量空间，σ是V的一个线性变换。它关于V的某一个基的矩阵是

(i)求出σ的最小多项式p(x)，并把p(x)在R[x]内分解为两个最高次项系数是1的不可约多项式p₁(x)与p₂(x)的乘积;

(ii)令W_i={ξ∈V|p_i(σ)ξ=0}，i=1，2。证明，W_i是σ的不变子空间，并且V=W₁⊕W₂;

(iii)在每一子空间W_i中选取一个基，凑成V的一个基，使得σ关于这个基的矩阵里只出现三个非零元素。

设V是一个欧氏空间，α∈V是一个非零向量。对于ξ∈V，规定

证明：τ是V的一个正交变换，且τ²=t，t是单位变换。

线性变换τ叫作由向量α所决定的一个镜面反射。当V是一个n维欧氏空间时，证明存在V的一个标准正交基，使得τ关于这个基的矩阵有形状：

在三维欧氏空间里说明线性变换τ的几何意义。

设V是n维欧氏空间,γ是V中一非零向量,试证W=｛α∈V/(α,γ)=0｝的维数等于n-1

设V是数域F上的一个线性空间,W是V的一个子集合,如何判断W是否是域F. 上的一个线性子空间？

根据定理4.9(主教材p178),"W是V的一个子空间的充要条件是W关于V中的两种运算(加法与数量乘法)封闭".因此判断W是否是V的子空间,只要判断W关于V中的两种运算是否封闭.例如:

设是P上n维线性空间V的一个线性变换。

1)证明：对V上的线性函数f，f仍是V上线性函数;

2)定义V*到自身的映射为。证明：是V*上的线性变换;

3)设ε₁，ε₂，...，ε_n是V的一组基，f₁，f₂，...，f_n是它的对偶基，并设在ε₁，ε₂，...，ε_n下的矩阵为A，证明：在f₁，f₂，...，f_n下的矩阵为A'。(因此称作的转置映射。)

设σ是欧氏空间V到自身的一个映射，对证明：σ是V的一个线性变换，因而是一个正交变换。

设V是一个n维欧氏空间。证明：

(i)如果W是V的一个子空间，那么

(ii)如果W₁，W₂都是V的子空间，且

(iii)如果W₁，W₂都是V的子空间，那么