令V是实数域R上一个三维向量空间，σ是V的一个线性变换。它关于V的某一个基的矩阵是（i)求出σ的最

n维欧氏空间V的一个线性变换σ说是反对称的，如果对于任意向量a，β∈V。

证明：

(i)反对称变换关于V的任意规范正交基的矩阵都是反对称的实矩阵(满足条件A^T=-A的矩阵叫作反对称矩阵);

(ii)反之，如果线性变换σ关于V的某一规范正交基的矩阵是反对称的，那么σ一定是反对称线性变换;

(iii)反对称实矩阵的特征根或都是零，或者是纯虚数。

设V是一个欧氏空间，α∈V是一个非零向量。对于ξ∈V，规定

证明：τ是V的一个正交变换，且τ²=t，t是单位变换。

线性变换τ叫作由向量α所决定的一个镜面反射。当V是一个n维欧氏空间时，证明存在V的一个标准正交基，使得τ关于这个基的矩阵有形状：

在三维欧氏空间里说明线性变换τ的几何意义。

实数域上二阶方阵所组成的线性空间V=M2(R)中，求它的一组基与维数．

设三维线性空间V的线性变换σ在基ε₁，ε₂，ε₃下的矩阵为，

求：

V是数域P上一个3维线性空间，ε₁，ε₂，ε₃是它的一组基，f是V上一个线性函数，已知

求。

是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，证明：如果在任意一组基下的矩阵都相同，那么是数乘变换。

设是P上n维线性空间V的一个线性变换。

1)证明：对V上的线性函数f，f仍是V上线性函数;

2)定义V*到自身的映射为。证明：是V*上的线性变换;

3)设ε₁，ε₂，...，ε_n是V的一组基，f₁，f₂，...，f_n是它的对偶基，并设在ε₁，ε₂，...，ε_n下的矩阵为A，证明：在f₁，f₂，...，f_n下的矩阵为A'。(因此称作的转置映射。)

设α₁，α₂，α₃是三维线性空间V的一组基，又V中的向量a在这组基下的坐标为(a₁，a₂，a₃)，求：