试对数域F上全体n阶方阵的集合规定两个（异于矩阵普通运算)不同的代数运算．

F是一个数域,A是F上的n阶方阵,集合W={B∈Fn*n|AB=0}

证明：（1）w是Fn*n的子空间

（2)若A的秩为R,求W的维数

所谓n阶魔阵,是指其各行各列以及主对角和次对角元素之和都相等的n阶方阵，如

就是一个三阶魔阵.

(1)证明:实数域上全体n阶魔阵的集合Mn按矩阵的加法与标量乘法构成R上的一个线性空间;

(2)求M³的维数.

验下列集合对指定的运算是否构成实数域上:的线性空间。

(1)全体n阶对称(反对称、上三角形，可逆)矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法。

(2)次数等于n(n≥1)的实系数一元多项式，对于多项式的加法和数与多项式的乘法。

(3)平面上的全体向量，对于向量的加法和如下定义的数量乘法:k₀a=a.

(4)全体正实数R⁺，加法和数量乘法定义为

其中a,b∈R⁺,k∈R.

检验下列集合对指定的加法和数量乘法运算,是否构成实数域上的线性空间:

(1)全体n阶正交矩阵,对矩阵的加法和数量乘法;

(2)平面上全体向量,对通常的向量加法和如下定义的数量乘法k·a=0其中k∈R，a为任意的平面向量,0为零向量.

(3)全体正实数R⁺,加法与数量乘法定义为

其中a,b∈R⁺,k∈R.

数域K上n阶矩阵全体M_n(K)组成线性空间V，定义V上的变换：φ(x)=AXB，其中A，B是两个n阶矩阵．证明：

(1)φ是V上的线性变换．

(2)φ是线性同构的充要条件是A，B都是可逆的．

设V是n阶对称矩阵的全体构成的线性空间给定n阶方阵P，变换

称为合同变换，试证合同变换T是V中的线性变换。

检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间。

(1)2阶反对称(上三角)矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法;

(2)平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：

(3)2阶可逆矩阵的全体，对于通常矩阵的加法与数量乘法;

(4)与向量(1，1，0)不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法与数量乘法。