令M_n(F)是数域F上全体n阶矩阵所成的向量空间。取定一个矩阵A∈M_n(F)。对于任意X∈M_n(F

令M_n(F)表示数域F上一切n阶矩阵所组成的向量空间。令

证明：S和T都是M_n(F)的子空间，并且M_n(F)=S+T，S∩T={O}。

令V=M_n(C)是复数域上全体n阶矩阵所组成的n²维向量空间，令A是任意一个n阶复矩阵。如下地定义V的一个线性变换α_A：V→V：对于任意X∈V=M_n(C)，α_A(X)=AX-AX。

(i)证明，r是非负整数，由此推出，如果A是幂零矩阵，那么α_A是V的幂零变换;

(ii)如果A=D+N是A的若尔当分解，其中D是A的可对角化部分，N是幂零部分，那么α_D和α_N分别是线性变换α_A的若尔当分解。

令A是数域F上一个n阶反对称矩阵，即满足条件A^T=-A。

(i)A必与如下形式的一个矩阵合同：

(ii)反对称矩阵的秩一定是偶数;

(iii)F上两个n阶反对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩。

数域K上n阶矩阵全体M_n(K)组成线性空间V，定义V上的变换：φ(x)=AXB，其中A，B是两个n阶矩阵．证明：

(1)φ是V上的线性变换．

(2)φ是线性同构的充要条件是A，B都是可逆的．

试对数域F上全体n阶方阵的集合规定两个(异于矩阵普通运算)不同的代数运算．

所谓n阶魔阵,是指其各行各列以及主对角和次对角元素之和都相等的n阶方阵，如

就是一个三阶魔阵.

(1)证明:实数域上全体n阶魔阵的集合Mn按矩阵的加法与标量乘法构成R上的一个线性空间;

(2)求M³的维数.

验证以下集合对于所指定的运算是否构成数域R上的线性空间。

(1)所有n阶对称矩阵，对矩阵加法及矩阵的数量乘法。

(2)所有n阶可逆矩阵，对矩阵加法及矩阵的数量乘法。

(3)微分方程y"+3y'-3y=0的全部解，对函数的加法及数与函数的乘积。

(4)微分方程y"+3y'-3y=2的全部解，对函数的加法及数与函数的乘积。

(5) V={f(x)∈C[a, b]|f(a)=1}对函数的加法及数与函数的乘积。