设F上三维向量空间的线性变换σ关于基{α₁，α₂，α₃}的矩阵是。求σ关于基的矩阵。设ξ=2α≇

设三维线性空间V的线性变换σ在基ε₁，ε₂，ε₃下的矩阵为，

求：

设σ是复数域上三维向量空间V的一个线性变换，它关于V的一个基的矩阵是

求出σ的若尔当分解。

设(γ₁，γ₂，...，γ_n)是n维向量空间V的一个基。

并且α₁，α₂，···，α_n线性无关。又设σ是V的一个线性变换，使得σ(α_j)=β_j，j=1，2，...，n。求σ关于基γ₁，γ₂，...，γ_n的矩阵。

设α₁，α₂，α₃是三维线性空间V的一组基，又V中的向量a在这组基下的坐标为(a₁，a₂，a₃)，求：

设矩阵求

(1)A的零空间N(A)={x|Ax=0}的基与维数;

(2)A的列向量α₁，α₂，α₃，α₄生成的向量空间L(α₁，α₂，α₃，α₄)的基与维数。

设A为三阶矩阵，α₁，α₂，α₃是线性无关的三维列向量，且满足

Aα₁=α₁+α₂+α₃，Aα₂=2α₂+α₃，Aα₃=2α₂+3α₃，

(Ⅰ)求矩阵B，使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B；

(Ⅱ)求矩阵A的特征值；

(Ⅲ)求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．

设3维线性空间V₃的线性变换T在基下的矩阵为

(1)求T在基下的矩阵;

(2)求T的像空间及维数;

(3)求T的核及维数。

)，定义σ(X)=AX-XA。已知σ是M_n(F)的一个线性变换。设

是一个对角矩阵。证明，σ关于M_n(F)的标准基{E_ij|1≤i，j≤n}的矩阵也是对角矩阵，它的主对角线的元素是一切a_i-a_j(1≤i，j≤n)。

设是P上n维线性空间V的一个线性变换。

1)证明：对V上的线性函数f，f仍是V上线性函数;

2)定义V*到自身的映射为。证明：是V*上的线性变换;

3)设ε₁，ε₂，...，ε_n是V的一组基，f₁，f₂，...，f_n是它的对偶基，并设在ε₁，ε₂，...，ε_n下的矩阵为A，证明：在f₁，f₂，...，f_n下的矩阵为A'。(因此称作的转置映射。)

设α1,α2,…αn是n维线性空间V的一组基,β1,β2…βs是V的一组向量,且有n*s矩阵满足

（β1，β2…βs）=（α1，α2，…αn）A

证明：矩阵A的秩等于向量组β1,β2…βs的秩

设B是秩为2的5X4矩阵，a是齐次线性方程组Bx=0的解向量，求Bx=0的解空间的一个规范正交基。