设3维线性空间V₃的线性变换T在基 下的矩阵为(1)求T在基 下的矩阵;(2)求T的像空间及维数;(3

设三维线性空间V的线性变换σ在基ε₁，ε₂，ε₃下的矩阵为，

求：

V是数域P上一个3维线性空间，ε₁，ε₂，ε₃是它的一组基，f是V上一个线性函数，已知

求。

已知3维向量空间的一个基为：α₁=(1，1，0)^T，α₂=(1，0，1)^T，α₃=(0，1，1)^T，则向量β=(2，0，0)^T在上述基下的坐标为______。

已知3维欧氏空间V的基α₁，α₂，α₃的度量矩阵为求V的一个标准正交基，并验证V的这两个基是合同的。

已知F³中的线性变换σ在基η₁=(-1，1，1)^T，η₂=(1，0，-1)^T，η₃=(0，1，1)^T下的矩阵为：

求σ在基ε₁=(1，0，0)^T，ε₂=(0，1，0)^T，ε₃=(0，0，1)^T下的矩阵．

设V是复线性空间，而线性变换T在基底ε1，ε2，…，εn下的矩阵是一Jordan块，证明： (1)V中包含εn的不变子空间只有V本身； (2)V中任一不变子空间都包含ε1； (3)V不能分解成两个非平凡的不变子空间的直和．

(I)求复数域上线性空间V的线性变换的特征值与特征向量，已知在一组基下的矩阵为：

(II)在(I)中哪些变换的矩阵可以在适当的基下化成对角形？在可以化成对角形的情况，写出相应的基变换的过渡矩阵T，并验算T^-1AT。

设α₁，α₂，α₃是三维线性空间V的一组基，又V中的向量a在这组基下的坐标为(a₁，a₂，a₃)，求：

设是P上n维线性空间V的一个线性变换。

1)证明：对V上的线性函数f，f仍是V上线性函数;

2)定义V*到自身的映射为。证明：是V*上的线性变换;

3)设ε₁，ε₂，...，ε_n是V的一组基，f₁，f₂，...，f_n是它的对偶基，并设在ε₁，ε₂，...，ε_n下的矩阵为A，证明：在f₁，f₂，...，f_n下的矩阵为A'。(因此称作的转置映射。)

设V是2×2阶实矩阵作成的线性空间，A是V中一固定矩阵，以X表示V中任一矩阵，证明变换T(X)=AX-XA是线性变换．

已知线性空间R⁴的两个基为：

求由基(1)到基(2)的过渡矩阵，并求向量α=(1，0，0，1)的两组基下的坐标．