设3阶实对称矩阵A的全部特征值为λ1=1，λ2=λ3=－1；ξ1=（1，2，－2)T为属于λ1的特征向量.求矩阵A.

解法1 设x=(x₁，x₂，x₃)^T为属于特征值λ₂=λ₃=-1的特征向量，则由实对称矩阵的性质2，有〈ξ，x〉=0，即
x₁+2x₂-2x₃=0 (4-31)
解得上述齐次线性方程组的基础解系为
ξ₂=(-2，1，0)^T，ξ₃=(2，0，1)^T
则ξ₁，ξ₂，ξ₃为A的线性无关特征向量(分别属于特征值1，-1，-1).
解法2 从(4-31)式可取属于λ₂=λ₃=-1的相互正交的特征向量
ξ₂=(0，1，1)^T，ξ₃=(4，-1，1)^T
于是得正交矩阵。由于正交矩阵的逆矩阵等于它的转置矩阵，因此本题解法2比解法1较为简单.
注意，在本题中，由实对称矩阵的性质2，可知属于λ₁=1的特征向量ξ₁与属于λ₂=λ₃=-1的特征向量x必是正交的。但反过来，凡是与ξ₁正交的非零向量是否必是λ₂=λ₃=-1的特征向量呢?我们指出这是肯定的，这可证明如下：设非零向量x与ξ₁正交，令，则x与e₁正交，即〈e₁，x〉=0.由实对称矩阵的性质，可知3阶实对称矩阵A必有标准正交的特征向量e₁，e₂，e₃(它们分别属于A的特征值1，-1，-1)，因而e₁，e₂，e₃是R³的一个标准正交基，故x可由e₁，e₂，e₃线性表出，即存在常数k₁，k₂，k₃，使得
k₁e₁+k₂e₂+k₃e₃=x
(其中k₁，k₂，k₃不全为零).用e₁与上式两端作内积，得
k₁〈e₁，e₁〉=〈x，e₁〉=0
得k₁=0，故x=k₂e₂+k₃e₃，且e₂，e₃不全为零.因e₂，e₃是λ₂=λ₃=-1的特征向量，故x亦是λ₂=λ₃=-1的特征向量.