设*是正整数集合Ⅰ+的二元运算，且x*y=x和y的最小公倍数。试证明*是可交换和可结合的。求出么元，并指出哪些元素是等幂的（即符合公式x*x=x)

证明如果*是定义在集合S上的可交换运算，那么左么元和右么元就是么元。

设A={a,b,c},构造A上的二元运算*,使得a*b=c,c*b=b,且运算*是幂等的（对任意a∈A,均有a*a=a)、可交换的,给出关于运算*的一个运算表,说明它是否可结合,并解释为什么.

设＜ R,*＞是一个代数系统,*是R上的一个二元运算,使得对于R中的任意元素a,b有a*b=a+b+a·b,试证0是么元,且＜ R,*＞是独异点。

设一个布尔代数,如果在B上两个二元运算+和·如下： 证明＜ B,+,·＞是以1为么元的环。

设A={a，b，c}，构造A上的二元运算*使得a*b=c，c*b=b，且*运算是幂等的、可交换的，给出关于*运算的一个运算表，说

设*是集合A上的二元运算，且在A中有关*运算的左幺元el和右幺元er，则el=er=e，且A中幺元e是惟一的（）

设A={a,b,c,d},二元运算.和*如表11.16、表11.17定义,问运算.和*是否可交换,是否有零元.是否有幺

设*是S上可结合的二元运算，a∈S，且a是可逆的，则a亦是可约的。（)

设A非空集合,ρ （A）是集合A的幂集合,∪和∩是集合的并和交运算,其中（ρ （A）,∪）是阿贝尔群,（ρ （A）,∩）是可交换的幺半群,∩对∪是可分配的,所以（ρ （A）,∪,∩）是可交换的含幺环（）

设*是集合A上的二元运算，且在A中有关*运算的左零元θl和右零元θr，则θl=θr=θ，且A中零元θ是惟一的（）

定义二元运算符*的意义如下： （a)x*y=xy,它是正整数集合中的运算吗？ （b)x*y=x-y,它是正整数集合中的运算吗？它是整数集合中的运算吗？