设列矩阵证明：（1)A=A的充分必要条件是（2)当时，A是不可逆矩阵。

设矩阵证明

(1)的充分必要条件是：

(2)当时，A是不可逆矩阵

设矩阵证明：

(1)A²=A的充分必要条件是x^Tx=1;

(2)当x^Tx=1时，A是不可逆矩阵。

设α₁，α₂，…，α_m均为n维实列向量.令矩阵

证明：A为正定矩阵的充分必要条件是向量组α₁，α₂，…，α_m线性无关.

矩阵的列(行)向量组如果是线性无关的，就称该矩阵为列(行)满秩的。证明：设A是mxr矩阵，则A是列满秩的充分必要条件为存在mxm可逆矩阵P使

同样地，A为行满秩的充分必要条件为存在rxr可逆矩阵Q使A=(E_m，O)Q。

设A是n阶非奇异矩阵，α是n×l列矩阵，b为常数，记分块矩阵。

(1)计算并化简PQ;

(2)证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是α^TA^-1α≠b。

设A为m×n矩阵.证明：对于任意的m维列向量b，线性方程组Ax=b都有解的充分必要条件是r(A)=m。

设A为n阶可逆矩阵,a为n维列向量,b为常数.记分块矩阵

其中A'是矩阵A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵。

(1)计算并化简PQ;

(2)证明:矩阵Q可逆的充分必要条件是α^TA^-1α≠b.

设矩阵A可逆，δA为A的误差矩阵，证明当时，A+δA也可逆．

设A，B都是n阶实对称矩阵.证明：存在正交矩阵P，使得P^-1AP和P^-1BP都是对角矩阵的充分必要条件是AB=BA.

设A，B都是n阶实对称矩阵.证明：存在正交矩阵P，使得P^-1AP=B的充分必要条件是A与B有相同的特征多项式.