设（H，*)和（K，*)都是群（G，*)的子群，令 HK={h*k|h∈H，k∈K}， KH={k*h|h∈H，k∈K}， 证明：（HK，*)是群（G，*)的子群

设(H，*)和(K，*)都是群(G，*)的子群，证明(H∩K，*)也是(G，*)的子群。

设H，K是群G的两个有限正规子群，并且(H|，|K|)=1．证明：如果商群G／H和G／K都是交换群，则G也是交换群．

设＜ H,*＞和＜ K,*＞都是群＜ G,*＞的子群，

证明当且仅当HK=KH时＜ HK,*＞是＜ G,*＞的子群。

设G是群，又K≤H

．证明：若G／K是交换群，则G／H也是交换群．

设H，K分别为群G的两个m与n阶子群．证明：若(m，n)=1，则H ∩ K={e}．

设H，K是群G的两个正规子群，且二者的交为{e}．证明：H与K中的元素相乘时可换．

设是一个群,H,K是其子群.定义G上的关系R:对任意a,bG,aRb存在hH,kK,使得b=h*a*k,则R是G上的等价关系.