设一体系未受微扰作用时只有两个能级：E01，E02，现在受到微扰的作用，微扰矩阵元为H12=H21=a，H11=H2

一体系未受微扰作用时只有三个能级：, 现在受到微扰的作用，微扰矩阵元为a,b和c都是实数，用微扰公式求能量至二级修正。

设一体系未受微扰作用时有两个能级:E₀₁及E₀₂，现在受到微扰的作用，微扰矩阵元为a、b都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。

粒子在一维无限深势阱中运动，设该体系受到的微扰作用。

(1)利用微扰理论求第n能级的准至二级的近似表达式

(2)指出所得结果的适用条件。

有一个二能级体系，Hamilton量记为H₀，能级和能量本征态记为E₁，E₂；ψ₁，ψ₂．设E₁＜E₂．t≤0时，体系处于状态ψ₁，t≥0时，体系受到微扰H'作用，设

H'₁₁=α，H'₂₂=β，H'₁₂=H'₂₁=γ

求t＞0时体系处于ψ₂态的概率．

从推广式9.1和式9.2开始,给出多能级体系的含时微扰理论:

在时间t=0时,开始加上微扰H'(t),因此总的哈密顿量是

(a)推广式9.6为

并证明

其中

(b)如果体系开始时处在ψN态,证明(在一级微扰理论中)

及

(c)例如,假设H'是一个常量(在t=0时加上,经过一段时间1后再去掉),作为时间t的函数,求出从N态到M态的跃迁概率(M≠N).

(d)现在假设H'是t的余弦函数:H'=Vcos(t).作通常的假设.证明只能向EM=ENh的能级跃迁,跃迁概率是

(e)假设一个多能级体系处在非相干电磁辐射中.参考教材9.2.3节,证明受激发射的跃迁概率与两能级体系的受激发射概率公式一样(式9.47).

一维谐振子，其能量算符为

(1)

设此谐振子受到微扰作用

(2)

试求各能级的微扰修正(三级近似)，并和精确解比较．

自旋1/2的三维各向同性谐振子，处于基态．设此粒子受到微扰H'=λσ·r作用(σ是Pauli自旋算符)，求能级修正(二级近似)．

一自由的三维转子的Hamitonian为式中，是轨道角动量算符，I是转子的转动惯量。

(1)求能谱与相应的简并度;

(2)若给此转子施加以微扰求基态能级移动(直至二阶微扰)。

已知：

设体系的粒子有两个非简并能级：ε₁=0，ε₂=ε．如果体系允许最多有两个全同粒子，求体系的巨配分函数、平均粒子数和每个能级的粒子平均占有数．