考虑一个二维谐振子，其Hamilton量为．已知其最低三个能量本征态为 设该二维谐振子又受到一微扰作用，

一维谐振子的湮灭算符(自然单位)的本征方程表示为a|α〉=a|α〉，|α〉可以表示为谐振子能量本征态的相干叠加，|α〉=．试证明：归一化的本征态|α〉可以表示为

其中|α〉称为谐振子的相干态．

二维谐振子的哈密顿量为，这里p和r都是二维矢量。定态薛定谔方程为。

设非简谐振子的Hamilton量表为H=H₀+H'，而H₀和H'如下给出

(β为实常数量)

用微扰论求其能量本征值(准到二级近似)和本征函数(准到一级近似)．

电荷为q的谐振子，t＜0和t＞τ时处于自由振动状态，总能量算符为

(1)

能量本征态记为ψ_n，能级．当0≤t≤τ，外加均匀电场，总能量算符变成

(2)

H的本征态记为φ_n，本征值为E_n．

设t≤0时该谐振子处于基态ψ₀，求t＞τ时的波函数ψ(x，t)，以及ψ(x，t)中各能量本征态ψ_n的成分．

已知二维线性谐振子各量子态的能量是

且能级ε_i是i+1重简并的；系统由N个这样的独立二维线性谐振子组成．求系统的自由能、熵、内能和定容热容量．