证明:单群的同态象是单群或单位元群(即只含一个元素的群)

证明：若群G的自同构群是一个单位元群(即G只有恒等自同构)，则G必为交换群且每个元素都满足方程x2=e．

设f为从群(G₁，*)到群(G₂，△)的同态映射，证明：f为单射，当且仅当Ker(f)={e}．其中e是G₁中的单位元．

证明：加群G的全体自同态对于以下运算

作成一个有单位元的环(称为加群G的自同态环)。

证明：当n≥5时，n次交代群An是一个单群，即其正规子群只有{(1)}及An．

证明:含幺半群的可逆元素集合构成一个子半群,即为半群的子半群.

设(G，*)是一个独异点，并且对于G中的每一个元素x都有x*x=e，其中e是单位元．证明：(G，*)是一个阿贝尔群．