证明：当n≥5时，n次交代群An是一个单群，即其正规子群只有{（1)}及An．

设X是含有n个元素的集合,从X中均匀地选取元素.设第k次选取时首次出现重复.

(1)试证明当n充分大时,k的期望值为.其中,.

(2)由此设计一个计算给定集合X中元素个数的概率算法.

设f为从群(G₁，*)到群(G₂，△)的同态映射，证明：f为单射，当且仅当Ker(f)={e}．其中e是G₁中的单位元．

设A是数域K上sXn矩阵。令

则A是Kⁿ到K^j的一个线性映射。证明:

(1)A是单射当且仅当KerA=(0)

(2)A是满射当且仅当ImA=K^j

(3)当s=n时,A是单射当且仅当A是满射,从而A是双射。

证明：若群G的自同构群是一个单位元群(即G只有恒等自同构)，则G必为交换群且每个元素都满足方程x2=e．

设(G，*)是一个独异点，并且对于G中的每一个元素x都有x*x=e，其中e是单位元．证明：(G，*)是一个阿贝尔群．