题目
A.对于V上双线性函数f(a,b),将其中一个变元固定时是另一个变元的线性函数
B.欧式空间的内积不是V上的双线性函数
C.双线性函数是对称的,当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵
D.双线性函数是反对称的当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵
第1题
设f是线性空间V上的双线性函数,W是V的线性子空间,令
证明:(1)W⊥是V的线性子空间
(2)如果W∩W⊥={0},则V=W⊕W⊥
第2题
设f是n维欧氏空间V上的反称双线性函数
证明:存在规范正交基使f关于这个基的度量炬阵具有如下分块矩阵的形式:
第3题
设f(α,β)是V上对称的或反称的双线性函数,α,β是V中两个向量,如果(α,β)=0,则称α,β正交。K是V的一个子空间,令试证,如果。
第5题
设f为n维线性空间V上的双线性函数,令
证明:W1与W2都是V的线性子空间,且dimW1=dimW2
第6题
第7题
上的双线性函数:
(1)f(α,β)=2x1y1+x1y2-3x2y1+x2y2
(2)f(α,β)=(x1-y2)2+x2y1
(3)f(α,β)=c,c∈K
(4)f(α,β)=(2x1+x2-3x3)(y1-y2+y3)
第8题
第9题
设f(α,β)是n维线性空间V上的非退化对称双线性函数,对V中一个元素α,定义V*中一个元素α*:α*(β)=f(α,β),β∈V。
试证:1)V到V*的映射α→α*是一个同构映射;
2)对V的每组基ε1,...,εn,有V的唯一的一组基ε1',...,εn'使f(εi,εj')=δij;
3)如果V是复数域上n维线性空间,则有一组基η1,...,ηn,使ηi=ηi',i=1,...,n。
第10题
设V是对于非退化对称双线性函数f(α,β)的n维准欧氏空间,V的一组基ε1,...,εn如果满足
则称为V的一组正交基。如果V上的线性变换满足
则称为V的一个准正交变换。试证:
1)准正交变换是可逆的,且逆变换也是准正交变换;
2)准正交变换的乘积仍是准正交变换;
3)准正交变换的特征向量α,若满足f(α,α)≠0,则其特征值等于1或-1;
4)准正交变换在正交基下的矩阵T满足
第11题
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