题目
[主观题]
一曲线过原点且在曲线上每一点(x,y)处的切线斜率等于x,求这曲线的方程
答案
解:设这曲线的方程为y=f(x), ∵该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率是y′=f′(x), 此点与原点的连线的斜率是y/x.又它们互相垂直. ∴y′y/x=-1.解此微分方程得y2+x2=C,(C是积分常数) ∵此曲线通过点(1,1).∴当x=1时,y=1.代入(1)得C=2,则y2+x2=2.故这曲线的方程是y2+x2=2.
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