给定任一个各位数字不完全相同的4位正整数，如果我们先把4个数字按非递增排序，再按非递减排序，然后用第1个数字减第2个数字，将得到一个新的数字。一直重复这样做，我们很快会停在有“数字黑洞”之称的6174，这个神奇的数字也叫Kaprekar常数。 例如，我们从6767开始，将得到： 7766 - 6677 = 1089 9810 - 0189 = 9621 9621 - 1269 = 8352 8532 - 2358 = 6174 7641 - 1467 = 6174 ... ... 现给定任意4位正整数，请编写程序演示到达黑洞的过程。 输入描述: 输入给出一个（0, 10000)区间内的正整数N。 输出描述: 如果N的4位数字全相等，则在一行内输出“N - N = 0000”；否则将计算的每一步在一行内输出，直到6174作为差出现，输出格式见样例，每行中间没有空行。注意每个数字按4位数格式输出。 测试数据2： 3 输出结果: 3000 - 0003 = 2997 9972 - 2799 =

见解析 我们用 表示有限数集 X 中元素的算术平均． 第一步，我们证明，正整数的 n 元集合 具有下述性质：对 的任意两个不同的非空子集 A ， B ，有 ． 证明：对任意 ， ，设正整数 k 满足 ， ① 并设 l 是使 的最小正整数．我们首先证明必有 ． 事实上，设 是 A 中最大的数，则由 ，易知 A 中至多有 个元素，即 ，故 ．又由 的定义知 ，故由①知 ．特别地有 ． 此外，显然 ，故由 l 的定义可知 ．于是我们有 ． 若 ，则 ；否则有 ，则 ． 由于 是 A 中最大元，故上式表明 ．结合 即知 ． 现在，若有 的两个不同的非空子集 A ， B ，使得 ，则由上述证明知 ，故 ，但这等式两边分别是 A ， B 的元素和，利用 易知必须 A = B ，矛盾． 第二步，设 K 是一个固定的正整数， ，我们证明，对任何正整数 x ，正整数的 n 元集合 具有下述性质：对 的任意两个不同的非空子集 A ， B ，数 与 是两个互素的整数． 事实上，由 的定义易知，有 的两个子集 ，满足 ， ，且 ． ② 显然 及 都是整数，故由上式知 与 都是正整数． 现在设正整数 d 是 与 的一个公约数，则 是 d 的倍数， 故由②可知 ，但由K的选取及 的构作可知， 是小于 K 的非零整数，故它是 的约数，从而 ．再结合 及②可知 d =1，故 与 互素． 第三步，我们证明，可选择正整数 x ，使得 中的数都是合数．由于素数有无穷多个， 故可选择 n 个互不相同且均大于 K 的素数 ．将 中元素记为 ， 则 ，且 （对 ）， 故由中国剩余定理可知，同余方程组 ， 有正整数解． 任取这样一个解 x ，则相应的集合 中每一项显然都是合数．结合第二步的结果，这一 n 元集合满足问题的全部要求．