判断下列命题（或说法)是否正确，为什么？（1) 如果向量β可由向量组 线性表示， 即 则表示系数 不全

判断下列命题是否正确，正确的给予证明，错误的给出反例：

(1)若非零向量α₁，α₂，···，α_m中任一个向量均不能由其余向量线性表示，则向量组α₁，α₂，···，α_m线性无关;

(2)若向量组α₁，α₂，···，α_m线性相关，则向量α₁可由其余向量α₂，···，α_m线性表示;

(3)若向量组α₁，α₂，α₃线性无关，向量β₁可由α₁，α₂，α₃线性表示，向量β₂不能由α₁，α₂，α₃线性表示，则向量组α₁，α₂，α₃，β₁+β₂也线性无关;

(4)如果有不全为零的数k₁，k₂，···，k_m，使得成立，则α₁，α₂，···，α_m线性相关，β₁，β₂，···，β_m也线性相关;

(5)若向量组α₁，α₂，···，α_m线性相关，向量组β₁，β₂，···，β_m也线性相关，则存在不全为零的数k₁，k₂，···，k_m，使得同时成立;

(6)若向量组α₁，α₂，···，α_m线性无关，向量组β₁，β₂，···，β_m线性无关，则向量组α₁，α₂，···，α_m，β₁，β₂，···，β_m也是线性无关的。

设向量β可由向量组α₁，α₂，…，α_r线性表出．试证：如果α₁，α₂，…，α_r线性无关，则表示式是唯一的．

分析 这是一个证明“唯一性”的命题，证明这类命题，往往采用以下两种方法：一是反证法，假设满足题设的结果不唯一，从而推出矛盾；二是同一法，设满足题设的结果有两个，然后证明这两个相同．

设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组(I)α1，α2，…，αm－1线性表示，记向量组(Ⅱ)α1，α2，…，αm－1，β，则()．

A．αm不能由(I)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示

B．αm不能由(I)线性表示，但可能由(Ⅱ)线性表示

C．αm可由(I)线性表示，也可由(Ⅱ)线性表示

D．αm可由(I)线性表示，但不可由(Ⅱ)线性表示

A.既不能由(I)线性表示，也不能由(II)线性表示

B.不能由(I)线性表示，但可由(II)线性表示

C.可由(I)线性表示，也可由(II)线性表示

D.可由(I)线性表示，但不可由(II)线性表示

A.δ必可由α，β，γ线性表示

B.δ必不可由α，β，γ线性表示

C.c必可由β，γ，δ线性表示

D.β必不可由α，γ，δ线性表示

A.若(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表出，则(Ⅱ)可由(Ⅰ)线性表出

B.若秩r(α1，…，αs，β1，…，βt)=r，则(Ⅰ)与(Ⅱ)可互相线性表出

C.若s=t，则向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价

D.若r=n，则向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价

已知向量组

与向量组

具有相同的秩，且β₃可由α₁，α₂，α₃线性表示，求a，b．

设向量组I：α1，α2，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，βs，线性表示，则(53)。

A．当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关．

B．当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关．

C．当r＜s时，向量组Ⅰ必线性相关．

D．当r＜s时，向量组Ⅰ必线性相关．

证明：如果n维单位向量组可以由n维向量组线性表示，则向量组线性无关。

举例说明下列各命题是错误的：

(1)若向量组a₁,a₂,…,a_m是线性相关的，则a₁可由a₂,…,a_m线性表示。

(2)若有不全为零的数λ₁,λ₂,…,λ_m，使

λ₁a₁+λ₂a₂+…+λ_ma_m+λ₁b₁+λ₂b₂+…+λ_mb_m=0

成立，那么，a₁,a₂,…,a_m线性相关；b₁,b₂,…,b_m也线性相关。

(3)若只有当λ₁,…,λ_m全为零时，等式λ₁a₁+…+λ_ma_m+λ₁a₁+…+λ_mb_m=0才能成立，那么a₁,…,a_m线性无关，b₁,…,b_m也线性无关。

(4)若a₁,…,a_m线性相关，b₁,…,b_m也线性相关，那么，有不全为零的数λ₁,…,λ_m，使λ₁a₁+…+λ_ma_m=0，λ₁b₁+…+λ_mb_m=0同时成立。

设向量组的秩为r₁，向量组的秩为r₂.向量组的秩为r₂，则下列结论不正确的是().

A.若(I)可由(II)线性表示，则r₂=r₃

B.若(II)可由(I)线性表示,则r₁=r₃

C.若r₁=r₃,则r₂＞r₁

D.若r₂=r₃,则r₁≤r₂