证明;Rⁿ按照范数构成Banach空间.

设X和Y都是Banach空间。证明乘积空间X×Y，赋有范数

‖(x，y)‖=‖x‖+‖y‖， (x，y)∈X×Y，

是Banach空间。

设P∈Rn×n为非奇异，又‖χ‖是Rn上的一种向量范数，证明： (1)

是Rn上的一种向量范数； (2)

是向量范数‖χ‖*的矩阵范数。

设X是赋范空间，Y是Banach空间。证明由从X到Y的有界线性映射组成的空间BL(X，Y)，赋有范数

‖F‖=sup{‖F(x)‖：x∈X，‖x‖≤1}， F∈BL(X，Y)

是Banach空间。证明赋范空间X的对偶空间X'是Banach空间。

设X在范数‖·‖₁和‖·‖₂下均为Banach空间。若当‖x_n‖₁→0时必有‖x_n‖₂→0成立，证明存在α＞0，β＞0使得

α ‖x‖₁≤‖x‖₂≤β‖x‖₂， x∈X，

即这两个范数等价。

设在线性空间I中定义了两个范数若存在着正常数m与M,使得

则称是两个等价的范数,证明:

(1)在Rⁿ中,下面三个范数:

都是等价的;

(2)在线性空间X中两个范数与等价充要条件是:对于Z中的点列{x_n},.

设A∈Rn×n为对称正定矩阵，χ∈Rn，‖χ‖＝

是Rn中的一种向量范数。

设A，B∈R^n×n，且‖·‖为上矩阵的算子范数，证明：

cond(AB)≤cond(A)cond(B).

证明有界数列空间l^∞是Banach空间

有界数列全体构成的集合

按照通常数列的加法和数与数列的乘法构成线性空间

证明(1)关系式

定义了l^∞上的一个范数，从而l^∞构成一个赋范线性空间(称为有界数列空间)；(2)在l^∞中点列按范数收敛等价于按坐标的一致收敛。

证明n维向量空间R_n中n个单位坐标向量是R_n的一组基。

证明：Rⁿ空间是完备的。