设p(x)是域F上的一个n次不可约多项式.证明:商域F[x]|p(x)中的每个元素都可惟一地表示成

设域F不是完全域且charF=p，证明:

在域F上不可约的充要条件是,a不是F中任何元素的p次幂

设是某一数域F上多项式在复数域内的全部根。证明：的每一个对称多项式都可以表成F上关于α₁的多项式。

设f(x)=a0+a1x+…+amxm是数域K上的一元多项式，设A是数域K上的n级矩阵，定义f(A)=a0I+a1A+…+amAm．显然，(A)仍是数域K上的一个n级矩阵，称，(A)是矩阵A的多项式．证明：如果A～B，则f(A)～f(B)．

设是整系数多项式，证明:若ac+bc为奇数，则f(x)在有理数域上不可约.

设为实数，称f(x)为实数域上的n次多项式，令A={f(x)|f(x)为实数域上的n次多项式，n∈N}。证明：A关于多项式的加法和乘法构成一个环，称为实数域上的多项式环。

证明：数域F上的一个n次多项式f(x)能被它的导数整除的充分且必要条件是f(x)-a(x-b)"，这里a，b是F中的数．

设数域P上nxn矩阵F的特征多项式为f(x)，并设证明：

2)对数域P上次数≥1的多项式G(x)有(G(x)，f(x))=1当且仅当|G(F)|≠0。