设f为有限维线性空间V上的线性变换，A，B为f在V的不同基下的矩阵。则下列说法不正确的是( )。

设是P上n维线性空间V的一个线性变换。

1)证明：对V上的线性函数f，f仍是V上线性函数;

2)定义V*到自身的映射为。证明：是V*上的线性变换;

3)设ε₁，ε₂，...，ε_n是V的一组基，f₁，f₂，...，f_n是它的对偶基，并设在ε₁，ε₂，...，ε_n下的矩阵为A，证明：在f₁，f₂，...，f_n下的矩阵为A'。(因此称作的转置映射。)

设三维线性空间V的线性变换σ在基ε₁，ε₂，ε₃下的矩阵为，

求：

是n维线性空间V上的线性变换，证明：

1)若在V的某基下矩阵A是某多项式d(λ)的友矩阵，则的最小多项式是d(λ);

2)设的最高次的不变因子是d(λ)，则的最小多项式是d(λ)。

是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，证明：如果在任意一组基下的矩阵都相同，那么是数乘变换。

设V是复数域上的n维线性空间，而线性变换在基ε₁，ε₂，...，ε_n下的矩阵是一若尔当块。证明：

1)V中包含ε₁的-子空间只有V自身;

2)V中任一非零-子空间都包含ε_n;

3)V不能分解成两个非平凡的-子空间的直和。

设ε₁，ε₂，ε₃，ε₄是四维线性空间V的一组基，线性变换在这组基下的矩阵为

1)求在基

下的矩阵;

2)求的特征值与特征向量;

3)求一可逆矩阵T，使T^-1AT成对角形。

设三维线性空间V上的线性变换在基ε₁，ε₂，ε₃下的矩阵为：

1)求在基ε₃，ε₂，ε₁下的矩阵;

2)求在基ε₁，kε₂，ε₃下的矩阵，其中k∈P且k≠0;

3)求在基ε₁+ε₂，ε₂，ε₃下的矩阵。

设{α₁，α₂，···，α_n}是F上n维向量空间V的一个基。A是F上一个nxs矩阵。令

证明

设f(α，β)是n维线性空间V上的非退化对称双线性函数，对V中一个元素α，定义V*中一个元素α*：α*(β)=f(α，β)，β∈V。

试证：1)V到V*的映射α→α*是一个同构映射;

2)对V的每组基ε₁，...，ε_n，有V的唯一的一组基ε₁'，...，ε_n'使f(ε_i，ε_j')=δ_ij;

3)如果V是复数域上n维线性空间，则有一组基η₁，...，η_n，使η_i=η_i'，i=1，...，n。

设ε₁，ε₂，ε₃，ε₄四维线性空间V的一组基，已知线性变换在这组基下的矩阵为

1)求在基下的矩阵;

2)求的核与值域;

3)在的核中选一组基，把它扩充成V的一组基，并求在这组基下的矩阵;

4)在的值域中选一组基，把它扩充成V的一组基，并求在这组基下的矩阵。