设K是的子集,R为实数集,≤为实数的小于或等于关系.证明u是K的上确界,当且仅当一下两个条件得到满足（1)对每一个k∈K,k≤u.（2)对任意正数ε,存在y∈K,使u-ε≤y.

设E_k(k=1，2，…)是Rⁿ中的可测集，试证明

(i)χ_Ek(x)在Rⁿ上依测度收敛到0当且仅当m(E_k)→0(k→∞)；

(ii)χ_Ek(x)在Rⁿ上几乎处处收敛到0当且仅当．

设具有连续偏导数，且进一步，设k为正整数，为k次齐次函数，即对于任意的实数t和(x,y,z)，成立

证明：曲面=0上所有点的切平面相交于一定点。

设R是实数集，R上的二元运算*定义为：a*b=a+b+ab。

整数集I上的一元运算定义如下:

(m)=m'(modk)

其中r,k为给定正整数,又定义I上的关系~:

X~y当且仅当x=y(modk)

问一是否是代数结构＜l,＞上的同余关系.

有偏序集(N，≤)，即自然数集N上的小于等于关系，N的子集A={2，3，6，8}的下确界和上确界分别是什么？

证明:为代数结构的同态(这里R₊为正实数集,R为实数集,-为数乘运算).它是否为一同构映射？为什么？

，b为整数}设S为实数集R的非空子集。若对任意x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，则称S为封闭集。下列命题： ①集合S={a+b |a，b为整数}为封闭集； ②若S为封闭集，则一定有0∈S； ③封闭集一定是无限集； ④若S为封闭集，则满足S T R的任意集合T也是封闭集。 其中的真命题是（）