设A={xlx∈R∧x=0,1}.在A上定义六个函数如下:令F为这6个函数构成的集合,o运算为函数的复合运算.

设X=R-{0,1},在X上定义6个函数如下:

对于任意试证明:是函数的复合运算。

设A={0,1},试给出半群＜A^A,o＞的运算表,其中o为函数的复合运算.

其中

设A={x|x∈R∧x≠0，1}。在A上定义6个函数如下：

V=＜S，°＞，其中S={f₁，f₂，...，f₆}，°为函数的复合.。

(1)给出V的运算表。

(2)说明V的幺元和所有可逆元素的逆元：

设f(x)为R上的单调函数，定义g(x)=f(x+0)，证明：g(x)在R上每一点都右连续。

设f(x)是定义在R上的函数，证明|f(x)|=f(x)sgn[f(x)]。

其中称为符号函数。

设f(x)在R上处处有定义，证明：

是R上的有界函数。

设 R[t]为t的实系数多项式的集合,为t的n次实系数多项式的集合.定义函数f:R[t]→R[t],f(g(t))=g²(t).求f(R₀[1]).f^-1({t²+2t+1}).f^-1(f({t-1,t²-1})).

设A={a,b,c}，○为A上的二元运算,且

(1)找出A上所有的双射函数.

(2)说明这些函数是否为<A,○>的自同构,为什么？

设V[a，b]为定义在[a，b]上的有界变差函数的全体，其线性运算与C[a，b]的相同。在V[a，b]中定义范数如下：

证明：V[a,b]按照‖·‖是不可分的巴拿赫空间。