设α₁，α₂，···，α_m是n维欧氏空间V中一组向量，而证明：当且仅当|△|≠0时，α₁，α₂，

设α是欧氏空间V中的一个非零向量，α₁，α₂，···，α_p是V中p个向量，满足

证明：

1)α₁，α₂，···，α_p线性无关;

2)n维欧氏空间中最多有n+1个向量，使其两两夹角都大于π/2。

1)设α，β是n维欧氏空间V中两个不同的单位向量，证明：存在一镜面反射使

2)证明：n维欧氏空间V中任一正交变换都可以表成一系列镜面反射的乘积。

设α₁，α₂，…，α_m是欧氏空间V中的m个向量.令行列式

证明：α₁，α₂，…，α_m线性无关的充要条件是行列式D≠0(称D为α₁，α₂，…，α_m的格拉姆(Gram)行列式).

设{α₁，α₂，…，α_n}和{β₁，β₂，…，β_n}是n维欧氏空间V的两个标准正交基，证明：如果V的一个正交变换τ使得τ(α₁)=β₁，那么τ(α₂)，τ(α₃)，…，τ(α_n)所生成的子空间与β₂，β₃，…，β_n所生成的子空间重合．

设α₁，α₂，···，α_n是欧氏空间的n个向量，行列式

叫作α₁，...，α_n的格拉姆(Gram)行列式，证明G(α₁，...，α_n)=0当且仅当α₁，...，α_n线性相关。

设V是n维欧氏空间,γ是V中一非零向量,试证W=｛α∈V/(α,γ)=0｝的维数等于n-1

设{α₁，α₂，···，α_n}和{β₁，β₂，···，β_n}是n维欧氏空间V的两个规范正交基。

(i)证明：存在V的一个正交变换σ，使σ(α_i)=β_i，i=1，2，...，n;

(ii)如果V的一个正交变换τ使得τ(α₁)=β₁，那么τ(α₂)，···，τ(α_n)所生成的子空间与由β₂，···，β_n所生成的子空间重合。

设V是一个欧氏空间，α∈V是一个非零向量。对于ξ∈V，规定

证明：τ是V的一个正交变换，且τ²=t，t是单位变换。

线性变换τ叫作由向量α所决定的一个镜面反射。当V是一个n维欧氏空间时，证明存在V的一个标准正交基，使得τ关于这个基的矩阵有形状：

在三维欧氏空间里说明线性变换τ的几何意义。

设α1,α2,…αn是n维线性空间V的一组基,β1,β2…βs是V的一组向量,且有n*s矩阵满足

（β1，β2…βs）=（α1，α2，…αn）A

证明：矩阵A的秩等于向量组β1,β2…βs的秩