设f₁(x), f₂(x); g₁(x), g₂(x)都是数域K上的多项式，共中f₁(x)≠0证明:如果g₁(x)g₂(x) | f₁(x)f₂(x), f₁(x)|g₁

如图所示，设是数域K上一个多项式。证明:如果λ₀是K上n级矩阵A的一个特征值,且α是A的属于λ₀的一个特征向量,那么f(λ₀)是矩阵f(A)的一个特征值,且α是f(A)的属于f(λ₀)的一个特征向量。

设f(x)=a0+a1x+…+amxm是数域K上的一元多项式，设A是数域K上的n级矩阵，定义f(A)=a0I+a1A+…+amAm．显然，(A)仍是数域K上的一个n级矩阵，称，(A)是矩阵A的多项式．证明：如果A～B，则f(A)～f(B)．

设f(x₁,...,x_n)是数域K上的n元齐次多项式

证明:如果存在数域K上的n元多项式g(x₁,...,x_n)与h(x₁,...,x_n),使

f(x₁,...,x_n)=g(x₁,...,x_n)h(x₁,...,x_n)

则g(x₁,...,x_n)与h(x₁,...,x_n)也都是齐次多项式

设A₁,A₂,…,A_n，都是数域K上的n级矩阵,证明:如果且A₁,A₂,…,A_I都是幂等矩阵,那么

设数域P上nxn矩阵F的特征多项式为f(x)，并设证明：

2)对数域P上次数≥1的多项式G(x)有(G(x)，f(x))=1当且仅当|G(F)|≠0。

证明:如果数域K上n级矩阵A满足

其中b_i∈K,i=0,1,...,m,且b₀≠0,那么A可逆:并且求A^-1。

设A，B都是n阶矩阵，并且有相同的特征多项式和相同的最小多项式。证明如果d_i≤3，i=1，2，...，k，那么A与B相似。

设f(x)，g(x)是数域P上两个不全为零的多项式。令

证明：存在m(x)∈S，使