记实数集合R的通常拓扑为令 证明:(1)是实数集合R的一一个拓扑;(2)拓

证明实数集合R有以集族

为基的拓扑,称为R的右手拓扑),并且

(1) 将写出来.

(2) 设A⊂R,求A在拓扑空间中的闭包.

设为实数集合的下限拓扑空间(见例2.6.1),证明:

(1)的每一成员都是既开又闭的集合.

(2)若为实数空间R的通常的拓扑,则.

(3)有一子基为

证明:实数集合R有一个拓扑以集族

为它的一个子基,并说明这个拓扑的特点.

设R是实数集合，证明R的可以写成f(x)=ax+b(a，b是实数，a≠0)形式的所有变换构成一个群(称为变换群)，它是否为阿贝尔群？

R和R+分别是实数集和正实数集，+，*表示通常的加法和乘法，试证明(R，+)和(R₊，*)同构．

证明§3.1习题第9题中定义的拓扑空间是两个实数下限拓扑空间R,(参见例 2. 6.1)的积空间.

设C^*是实数部分非零的全体复数组成的集合，C^*上关系R定义为〈(a+bi)R(c+di)〉ac＞0，证明：R是等价关系，并给出关系R的等价类的几何说明．