设S={a,b},试证明半群不是可交换的。这里·是函数的合成。

设(A，*)是有限的可交换单元半群，且对任意的a，b，c∈A，等式a*b=a*c蕴含着b-c．试证明(A，*)是阿贝尔群．

设A={0,1},试给出半群＜A^A,o＞的运算表,其中o为函数的复合运算.

其中

设h是从半群的同态,若a是S中的等幂元素,试证明T中也存在等幂元素。

试证明：

设X是[a，b)上右连续的单调函数全体，则．

设f₁、f₂都是从代数系统(A，★)到(B，*)的同态．设g是从A到B的一个映射，使得对任意a∈A都有g(a)=f₁(a)*f₂(a)．证明：如果(B，*)是一个可交换半群，那么g是由(A，★)到(B，*)的同态．

设函数ω=f(z)=R(cosΦ+isinΦ)是z=x+iy的解析函数，试证明C-R条件可写成

试证明：

设{f_k(x)}是E上的可测函数渐升列，若,则

设(S，*)是一个半群，而且对于S中的元素a和b，如果a≠b必有a*b≠a*a，试证明：

(1)对于S中的每个元素a，有a*a=a；

(2)对于S中任意元素a，b，有a*b*a=a；

(3)对于S中任意元素a，b，c，有a*b*c=a*c．

设(G，*)是一个群，a，b∈G且(a*b)²=a²*b²．试证明：a*b=b*a．