设X为拓扑空间，{ＸK}是X中的序列，则下面正确的命题是（）。

A.若{xk}在X中收敛，则极限唯一

B.若X是第一可数的，{xk}在X中收敛，则极限唯一

C.若X是T₂空间，{xk}在X中收敛，则极限唯一

D.若X是正则的空间，{xk}在X中收敛，则极限唯一

A.若X是T₁空间，则X是T₀空间

B.若X是L空间且正则，则X是T₁空间

C.若X是正规空间，则X是正则空间

D.若X是完全正则空间，则X是正则空间

A.若X是第二可数的，则X是Lindelof空间

B.若X是第二可数的，则X是可分的

C.若X是Lindelof的度量空间，则X是可分的

D.若X是Lindelof空间，则X是可分的

A.若X是连通的，则X是局部连通的

B.若X是局部连通的，则X是连通的

C.若X是连通的，则X的子空间也是连通的

D.以上三个命题都是错的

A.若X是可度量化空间，则Y是可度量化空间

B.若X是可度量化的完备空间，则Y是可度量化的完备的空间

C.若X是离散空间，则Y是离散空间

D.若X是Hausdorff空间，则Y是Hausdorff空间

设X为度量空间.证明:（1) 若X中序列|x_i|收敛于x,并且为有限集,则存在N∈N使得当i＞N时x_i=

设X为度量空间.证明:

(1) 若X中序列|x_i|收敛于x,并且为有限集,则存在N∈N使得当i＞N时x_i=x.

(2) X中收敛序列有唯一的极限.

(3) 定理2.7.2和2.7.3的逆命题成立.

设X,Y为拓扑空间,f:X→Y为连续映射.证明:（1)若X是可数紧致空间,则f（X)也是可数紧致空间。（2)若X是序列紧致空间,则f（X)也是序列紧致空间.

设X是赋范空间。若x_n∈X且∑‖x_n‖＜∞，则称级数∑x_n是绝对收敛的。证明若X是Banach空间，则每个绝对收敛的级数都在X中收敛。

设X为赋范线性空间,则X是Banach空间的充要条件是若

使得收敛.

设X为完备度量空间,A是X到X中映射,记

若则映射A有唯一不动点.