设为向量空间Rⁿ的一个基。证明：

证明n维向量空间R_n中n个单位坐标向量是R_n的一组基。

设a₁,a₂, …,a_n是n维欧氏空间Rⁿ的一组基，证明:若Rⁿ中向量β₁,β₂满足

在n维向量空间Rⁿ中选定单位坐标向量为一组基以后，对n维向量空间Rⁿ中的任一向量则

且a用的这种线性表示是唯一的，我们把唯一表示向量a的这n个实数称为向量a对这组基的坐标。

(1)证明向量组是R³的一组基;

(2)求向量对(1)所证一组基的坐标。

设是Rn的一组基。

(1)证明也是Rn的基。

(2)求从旧基到新基的过渡矩阵。

(3)求向量a的旧坐标和新坐标间的变换公式。

证明：Rⁿ中下列向量集合组成它的线性子空间，并分别求出一组基和维数．

(1)W₁；第一个和最后一个坐标相等的所有n维向量．

(2)W₂；偶数号码坐标等于零的所有n维向量．

(3)W₃；偶数号码坐标相等的所有n维向量．

(4)W₄；形如(a，b，a，b，a，b，…)的所有n维向量，其中a，b为任意实数。

设为Rⁿ上的1-形式，证明

设

为n维向量空间V的两个线性变换，且

证明:

设α₁，α₂，···，α_n是n维欧氏空向Rⁿ的一组基。证明：

(1)若γ∈Rⁿ，有(γ，α_i)=0，i=1，2，...，n，则γ是零向量;

(2)若γ₁，γ₂∈Rⁿ，使对Rⁿ中任意向量α，均有＜γ₁，α＞=＜γ₂，α＞，那么γ₁=γ₂。