设是由集合X的一些拓扑构成的一个集族,其中指标集r非空证明: 是X的一个拓扑.证:仿习题2.7可证.

设X是一个拓扑空间;是X中的一个子集族证明:如果对于每一个,集.合A_y的导集是闭集,则集合的导集是闭集(提示:请充分运用定理2.4.1中的结论. )

证:要证是闭集,即.

因对任意的所以于是又因所以要使(*)成立,只须或即对任意的有x.

设X为非空集合.为X的子集族并且满足定理2.4.3中的条件（1),（2)和（3).证明X有唯一的一个拓扑使得

设X为非空集合.为X的子集族并且满足定理2.4.3中的条件(1),(2)和(3).证明X有唯一的一个拓扑使得.恰为拓扑空间的全体闭集构成的集族.

设拓扑空间(X，τ)满足第二可数公理．证明从X的任意开覆盖中可选出由可数个集构成的子覆盖．

证明实数集合R有以集族 为基的拓扑,称为R的右手拓扑),并且（1) 将写出来.（2) 设A⊂

证明实数集合R有以集族

为基的拓扑,称为R的右手拓扑),并且

(1) 将写出来.

(2) 设A⊂R,求A在拓扑空间中的闭包.

设X为拓扑空间,A,B⊂X.证明:（1)xєX是集合A的凝聚点当且仅当x是集合A∽{x}的凝聚点;（2)如果d（A)⊂B⊂A,则B是一个闭集.

设是一个拓扑空间,∞是一个不属于X的元素.记X* = XU {∞}.令是Xⁿ的一个子集族,使得U⊂Xn是.的一个元素当且仅当或者或者Xⁿ- U⊂ X是X的闭集,并且作为X的子空间是一个 空间.证明.

(1)是Xⁿ的一个拓扑;

(2)拓扑空间是一个空间.

求集合的导集和闭包.（1)设A是有限补空间X中的一个无限子集求A的导集和闭包;（2)设A是可数补空间X中的一个不可数子集.求A的导集和闭包;（3)求实数空间R中的全体有理数集Q的导集和闭包;（4)设X"是§2.2习题9中定义的拓扑空间.求单点集{∞}的导集和闭包.

证明:实数集合R有一个拓扑以集族

为它的一个子基,并说明这个拓扑的特点.

设X是一个集合.则X的子集族是X的同一拓扑的两个基的充分条件是满足条件:（1)若,则存在使得;（2)

设X是一个集合.则X的子集族是X的同一拓扑的两个基的充分条件是满足条件:

(1)若,则存在使得;

(2)若,则存在使得.

试证明：

设是一个非空点集，若对任意的，存在y∈E，使得d(x，y)=d(x，E)，则E是闭集．