R={0, a，b，c}，加法和乘法由以下两个表给定:证明，R作成一个环。

A.{x│x≥0,x∈I}

B.{x│x=a+b√3,a,b∈R}

C.{x│x=2n,n∈I}

D.{x│x=2n+1,n∈I}

A.〈Q-{0},×〉，其中Q为有理数集，×为普通乘法

B.〈G,•〉，其中G={所有n阶可逆方阵}，•是G上的矩阵乘法运算

C.〈R,+〉其中R为实数集，+为普通加法

D.〈Z,+〉,其中Z为整数集，+为普通加法

证明，由所有实数(a,b是整数)作成的集合R对于普邇加法和乘法来说是一个整环。

检验下列集合对指定的加法和数量乘法运算,是否构成实数域上的线性空间:

(1)全体n阶正交矩阵,对矩阵的加法和数量乘法;

(2)平面上全体向量,对通常的向量加法和如下定义的数量乘法k·a=0其中k∈R，a为任意的平面向量,0为零向量.

(3)全体正实数R⁺,加法与数量乘法定义为

其中a,b∈R⁺,k∈R.

证明:全体以零为极限的实数列

按如下定义的加法与标量乘法:

构成实数域R上的一个无限维线性空间.

验证以下集合对于所指定的运算是否构成数域R上的线性空间。

(1)所有n阶对称矩阵，对矩阵加法及矩阵的数量乘法。

(2)所有n阶可逆矩阵，对矩阵加法及矩阵的数量乘法。

(3)微分方程y"+3y'-3y=0的全部解，对函数的加法及数与函数的乘积。

(4)微分方程y"+3y'-3y=2的全部解，对函数的加法及数与函数的乘积。

(5) V={f(x)∈C[a, b]|f(a)=1}对函数的加法及数与函数的乘积。

对以下定义的集合和运算判别它们能否构成代数系统？如果能，请说明是构成哪一种代数系统？

(1)S₁={0，±1，±2，...，±n}，+为普通加法，则S₁是Ⓐ。

(2)S₂={1/2，0,，2}，*为普通乘法，则S₂是Ⓑ。

(3)S₃={0，1，...，n-1}，n为任意给定的正整数且n≥2，*为模1乘法，°为模n加法，则S₃是Ⓒ。

(4)S₄={0，1，2，3}，≤为小于等于关系，则S₄是Ⓓ。

(5)S₅=M_n(R)，+为矩阵加法，则S₅是Ⓔ。

A.异构映射

B.满射

C.单射

D.同构映射

假设以加法和乘法为关键操作， 估算下述 n 次多项式求值函数的时间复杂度(取T为整型) template T PolyEval(Tcoeff[], int n, const T& x) { // 计算 n 次多项式的值，coeff[0: n] 为多项式的系数 T y=1, value=coeff[0]; for(i=1;i<=n;i++) { y*=x; value+=y*coeff[i]; } return value; }