有界数列全体构成的集合,按照通常数列的加法和数与数列的乘法构成线性空间.证明:

有界数列全体构成的集合

按照通常数列的加法和数与数列的乘法构成线性空间

证明(1)关系式

定义了l^∞上的一个范数，从而l^∞构成一个赋范线性空间(称为有界数列空间)；(2)在l^∞中点列按范数收敛等价于按坐标的一致收敛。

设是所有实数列全体按分量相加与数乘构成的线性空间，在上定义

证明：

检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：

1)次数等于n(n≥1)的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法;

2)设A是一个nxn实矩阵，A的实系数多项式f(A)的全体，对于矩阵的加法和数量乘法;

3)全体n级实对称(反称，上三角形)矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法;

4)平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法;

5)全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：

6)平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：

7)集合与加法同6)，数量乘法定义为

8)全体正实数R⁺，加法与数量乘法定义为

证明有界数列空间l^∞是Banach空间

设Banach空间(X，‖·‖)具有Schauder基{e_k}，用E表示所有使得在X中收敛的数列{ξ_k}的全体按通常方式定义线性运算构成的线性空间，对于每一x={ξ_k}∈E，定义，证明(E，‖·‖^*)是Banach空间．