设a₁，a₂，...，a_n是数域F中互不相同的数，b₁，b₂，...，b_n是数域F中任一组给定的数，用Cramer法则证明：存在唯一的数域F上，次数小于n的多项式f(x)，使f(a_i)=b_i。

设K[x]n表示系数在数域K中次数小于n的多项式组成的线性空间

f_i(x)=(x-a₁)…(x-a_i-1)(x-a_i+1)…(x-a_n),i=1,…,n,其中a_i∈K(i=1,2,...,n)为互不相同的数

(1)证明:f₁(x),f₂(x)，..,f_n(x)组成K[x]_n的一个基

(2)取a₁,a₂,…,a_n为全体n次单位根1,ξ₁,…,ξ_n-1,求由基1,x,x₂,...,x_n-1到基f₁(x),f₂(x),...，f_n(x)的过渡矩阵

设a₁，a₂，···，a_m(m≤n)是互不相同的数，证明向量组线性无关。

设a₁, a₂, ... a_n-1是互不相同的数.将x的多项式

分解为不可约因式的乘积。

设

其中a₁，a₂，...，a_n-1是互不相同的数。

1)由行列式定义，说明P(x)是一个n-1次多项式;

2)由行列式性质，求P(x)的根。

项式f(x)用F(x)除所得的余式为

设A₁,A₂,…,A_n，都是数域K上的n级矩阵,证明:如果且A₁,A₂,…,A_I都是幂等矩阵,那么

设数域K上的n级矩阵

满足

证明:A的列向量组a₁,a₂,...,a_n的秩等于n。