引入极坐标并用Poincare- Bendixson环域定理证明系统在环形区域 内有闭轨.

利用极坐标计算下列二重积分：，其中D是圆环形闭区域a²≤x²+y²≤b²．

若曲线以极坐标ρ=ρ(θ)(θ₁≤θ≤θ₂)表示,试给出计算 的公式,并用此公式计算下列曲线积分

在极坐标下计算下列二重积分：

(1)，其中D为圆环形域π/3≤x²+y²≤π;

(2)，其中D为由不等式1≤x²+y²≤4、y≥0及y≤x所决定的区域;

(3)，其中D为圆域x²+y²≤Rx;

(4)，其中D为由双纽线(x²+y²)²=a²(x²-y²)所围成的封闭区域。

利用极坐标计算下列二重积分：，其中D是由圆周x²+y²=4及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域．

若曲线以极坐标ρ=ρ(θ)(θ₁≤θ≤θ₂)表示，试给出计算的公式，并用此公式计算下列曲线积分：

(1)，其中，L为曲线的一段；

(2)，其中,L为对数螺线ρ=ae^kθ(k＞0)在圆r=a内的部分。

利用极坐标计算下列二重积分：

(3)，其中D是由圆周x²+y²=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；

(4)

试把闭域套定理推广为闭集套定理，并证明之，

利用极坐标计算下列二重积分：∫∫(x2+y2)dxdy，其中D是由x²+y²=π²，x²+y²=4π²，y=x，y=2x所围成的在第一象限内的闭区域．

利用极坐标计算下列二重积分：∫∫（x∧2+y∧2）dσ，其中D是由x²+y²=2ax与x轴所围成的上半部分的闭区域．

证明定理7.11之(1)、(2),并用实例说明(3)、(4)中的号不可更换.

证明球极坐标的体积dτ=r²sinθdrdθdφ。