二次型f=x^T Ax（A为实对称阵)正定的充要条件是（)。

已知实二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx经正交变换x=Py化为标准形f(y₁，y₂，y₃)=-y₁²-y₂²+2y₃²，其中x=(x₁，x₂，x₃)^T，A为实对称矩阵，相应于特征值2的特征向量为α=(1，1，-1)^T。求矩阵A及所用的正交变换x=Py。

设A为n阶实对称矩阵，r(A)=n，A_ij是A=(α_ij)_n×n中元素α_ij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型

(1)记X=(x₁，x₂，…x_n)^T，把f(x₁，x₂,...，x_n)写成矩阵形式，并证明二次型f(X)的矩阵为A^-1

(2)二次型g(X)=X^TAX与f(X)的规范形是否相同？说明理由。

设A为n阶实对称矩阵，R(A)=n; 二次型

(1)求二次型f的阵

(2) 二次型的规范形是否相同？说明理由.

，二次型

(1)记X=(x₁，x₂，···，x_n)^T，试写出二次型f(x₁，x₂，···，x_n)的矩阵形式。

(2)判断二次型g(X)=X^TAX与f(X)的规范形是否相同，并说明理由。

设f(x₁，x₂，···，x_n)=X'AX是一实二次型，λ₁，λ₂，···，λ_n是A的特征多项式的根，且λ₁≤λ₂≤···≤λ_n。证明：对任一X∈Rⁿ，有

设f(x₁，...，x_n)=X'AX是一实二次型。已知有实n维向量X₁，X₂使证明：必存在实n维向量X₀≠0，使X₀'AX₀=0。

A.f(x₁，x₂，x₃，…，x_n)的标准形是唯一确定的

B.f(x₁，x₂，x₃，…，x_n)的规范形是唯一确定的

C.f(x₁，x₂，x₃，…，x_n)化为标准形的可逆线性变换是唯一确定的

D.f(x₁，x₂，x₃，…，x_n)化为规范形的可逆线性变换是唯一确定的

证明：下列条件都是n元二次型f(x)=x^TAx半正定(实对称矩阵A半正定)的充分必要条件：

1)A是n级可逆矩阵，求下列二次型

的矩阵;

2)证明：当A是正定矩阵时，f是正定二次型;

3)当A是实对称矩阵时，讨论A的正、负惯性指数与f的正、负惯性指数之间的关系。