如图所示，一根均匀的轻质细绳，一端拴一质量为m的小球，在铅直平面内，绕定点O做半径为R的圆周运动。已知t=0时，

一个质量为m的小球由一绳索系着，以角速度ω₀在无摩擦的水平面上，绕半径为r₀的圆周运动。如图所示，如果在绳的另一端作用一个铅直向下拉力，小球则做以半径r₀/2的圆周运动，试求：

₁绕孔O作半径为r₁的匀速率圆周运动，如图所示，现在向下缓慢拉绳，直到小球作半径为r₁/2的圆周运动时停止。试求此时小球的速率v₂。

光滑水平面上有一小孔O，轻质细绳穿过小孔，两者之间无摩擦。开始时水平段OA长r₀，A端连接质量m的小球，小球绕O点以匀速率υ₀作圆周运动，如图所示。

(1)试求此时B端所受竖直向下的外力T₀；

(2)将B端拉力从丁。极缓慢地增大到2T₀，试求最终小球绕O作圆周运动的速率υ；