设f（x)，fn（x)（n∈N)均是E上的可积函数，fn（x)几乎处处收敛于fn→∞且 试证：对任意可测子集，有

设函数列f_n(x)在E上测度收敛于f(x)，且几乎处处有

f_n(x)≤f_n+1(x)， n∈N，

证明f_n(x)几乎处处收敛于f(x)。

设对每个n∈N，f_n(x)在E上可积，f_n(x)几乎处处收敛于f(x)，n→∞，且一致有

∫_E|f_n(x)|dx≤K，K为常数

则f(x)可积。

设函数列f_n(x)在E上测度收敛于f(x)，且在E上几乎处处有f_n(x)≤g(x)，n∈N。试证：在E上几乎处处有

f(x)≤g(x)

设函数列f_n(x)(n=1,2,...)在有界集E上“基本上”一致收敛于f(x),证明收敛于f.

设f_n∈L^p(E)(1≤p＜∞，n∈N)，试证明下列命题等价：

(i)存在f∈L^p(E)，使得

．

(ii)存在f∈L^p(E)，使得f_n(x)在E上依测度收敛于f(x)，而且Γ={|f_n(x)|^p}具有积分一致绝对连续性，即对任给ε＞0，存在δ＞0，使得

(n∈N，且m(e)＜δ)．

证明：设

f_n(x)→f(x)，x∈D，a_n→0(n→∞)(a_n＞0)．

若对每一个正整数n有

|f_n(x)-f(x)|≤a_n，x∈D，

则{f_n}在D上一致收敛于f．

试证明：

设{f_n(x}}是R¹上非负渐降连续函数列．若在有界闭集F上f_n(x)→0(n→∞)，则f_n(x)在F上一致收敛于零．

设实函数f(x)，f_n(x)(n=1，2，…)在紧空间X上连续。如果{f_n(x)}是单调函数列，且对每个x∈X，有{f_n(x)}→f(x)，那么{f_n(x))在X上一致收敛于f(x)。

设函数列f_n(x)在有界集E上近一致收敛于f(x)，试证：f_n(x)几乎处处收敛于f(x)。