证明数域K上任一n级矩阵都可以表示成一个对称矩阵与一个斜对称矩阵之和，并且表示方法唯一．

设A是数域K上一个sXn矩阵,且A≠0。证明:rank（A)=1当且仅当A能表示成一个s维列向量和一个n维行向量的乘积。

设f(x)=a0+a1x+…+amxm是数域K上的一元多项式，设A是数域K上的n级矩阵，定义f(A)=a0I+a1A+…+amAm．显然，(A)仍是数域K上的一个n级矩阵，称，(A)是矩阵A的多项式．证明：如果A～B，则f(A)～f(B)．

如图所示，设是数域K上一个多项式。证明:如果λ₀是K上n级矩阵A的一个特征值,且α是A的属于λ₀的一个特征向量,那么f(λ₀)是矩阵f(A)的一个特征值,且α是f(A)的属于f(λ₀)的一个特征向量。

设A是数域K上2级矩阵,证明:如果|A|=1,那么:A可以表示成1°型初等矩阵P（i,j（k))的乘积（即A可以表示成形如I+kE。的矩阵的乘积,其中i≠j)。

设A是数域K上的n级可逆矩阵，证明:（1)如果A有特征值,那么A的特征值不等于0（2)如果是A的一个重特征值，那么λ₀^-1是A^-1的一个重特征值。

设A=（a_ij)是数域K上n级上三角矩阵。证明:（1)如果a₁₁,a₂₂,...,a_m两两不等，那么A可对角化（2)如果a₁₁=a₂₂=...=a_m。并且至少有一个a_u≠0（k＜l)，那么A不能对角化。

设A是数域K上的n级矩阵。证明:如果|A|≠0,那么A的列向量组a₁,a₂,...,a_n是Kⁿ（由列向量组成)的一个基:A的行向量组γ₁,γ₂,...,γ_n是Kⁿ（由行向量组成)的一个基。

证明一切形式为

的二阶复矩阵所成的集合K作成一个环。这个环的每一非零元素都有逆元，K是不是域？