设|λ|＜1．考虑C[0，1]上的积分方程x（s)=λsinx（t)dt+y（s)，其中y∈C[0，1]．证明此方程存在唯一连续解．

设f(x)为[0,1]上的非负单调非增连续函数(即当x＜y时,f(x)≥f(y)).利用积分中值

定理证明:对于0＜a＜β＜1.有下面的不等式成立

设

试求f在[0,1]上的上积分与下积分;并由此判断f在[0,1]上是否可积.

设f(x)在[0，1]上连续，f(0)=3，且对于[0，1]上的一切x和y，有

|f(x)-f(y)|≤|x-y|，试估计积分的值

设f(x)在[0，1]上连续，f(0)=3，且对于[0，1]上的一切x和y，有

|f(x)-f(y)|≤|x-y|，

试估计积分f(x)dx的值．

设f(x)在[0，1]上连续，f(0)=3，且对于[0，1]上的一切x和y有

|f(x)-f(y)|≤|x-y|，

试估计积分的值．

设f(x)在区间(0,1]上是非负减函数,且在点0右旁是无界的.若奇异积分是收敛的,证明:

设，则函数序列{S_n(x)}在[0,1]上收敛但不一致收敛，且极限运算与积分运算不能交换，即

设f(x)在[0，1]上连续，f'(x)在[0，1]上可积，证明：用复化梯形公式计算的误差形式为

其中T_n(f)是复化梯形和，ti(i=0，1，...，n)为积分区间[0，1]的分划节点。

设f (x)在[0，1]上连续，且当x[0，1]时，恒有f (x)＜1.证明方程2x-在 （0，1）内至少存在一个根.

设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导且f(0)=f(1)=0,f（1/2）=1,试证明至少存在一点ξ∈（0,1）,使得f`（ξ）=1.